martingale与Markov Process的关系

鞅过程与马尔科夫过程是什么关系？

1.鞅代表的是公平游戏，马尔可夫过程侧重过程无记忆性

总而言之：鞅和马尔可夫过程没有包含的关系。因为鞅代表的是公平游戏，而马尔可夫过程侧重过程无记忆性。两者没有内在联系。

注：本文将试图从直观上解释，因此会略去一些过于严谨而不影响直观理解的条件。

定义：

鞅（martingale）：如果随机过程X(t)满足对任意的s<t，都满足[公式]，则称为鞅。

直观上而言，已知鞅过程在某一时刻的值时，其任意之后时刻的条件期望为这一时刻的值。从赌徒的角度来看，它是一个公平的游戏。

举例而言，如果我们在玩摇骰子比大小的游戏，每一轮输家要给赢家一元钱。假设游戏公平，在第十局结束后，你已经发现自己赢了4元，在十一局时，由于游戏的公平性，你有一半几率赢一元，也有一半几率输一元。此时你在第十一局结束后收益的条件期望为4元。甚至，在第二十局时你收益的期望依然是4元。从第十局以后，无论局数为多少，你的条件期望都会等于在第十局的收益。此时你的收益就是一个鞅过程。

马尔可夫过程（Markov Process）：如果随机过程X(n)满足对任意时刻，给过去全部经历的路程，其分布与给最近一点的位置相同，即[公式]。

直观上而言，如果我要研究一个马尔可夫过程未来的发展，你给我这个过程经历的路程与给我你最后观察到的点的位置是等价的，即拥有路程并不能带来更多的信息。这或许有点难以理解，但如果你假设股票的价格是马尔可夫过程，那么你做决策仅仅在乎此时的股票价格而不会在乎股票整体的走势。这说明，马尔可夫过程侧重于过程的无记忆性。

举例而言，小红家住在10楼，她可以坐电梯或者走楼梯下楼。但是楼梯口某个位置特别暗，有可能会在那栽跟头。如果我们假设这是个马尔可夫过程，当我们观察到小红今天走楼梯下楼时，我们就会说小红今天有几率p在那边摔倒，此时摔倒的几率为一个常数。转而言之，我们并不在乎小红走过多少次楼梯口，我们假设她永远不会从上次的摔倒中学习。也就是说，小红在楼梯口摔了一次与摔了十次后，只要观察到她走楼梯，她就有相同的机会在同样的地方栽跟头。

对于布朗运动而言，其既是鞅又是马尔可夫过程。

由于布朗运动的增量独立且均值为0的特性，（即[公式]与[公式]独立且均值为0）。我们很容易证明布朗运动即是鞅又是马尔可夫过程。但对于一般的情形，鞅与马尔可夫过程并没有更多相关性。究其原因，是因为两者的侧重点不同，鞅侧重公平性，而马尔可夫过程侧重无记忆性。这两者并无联系。

两者无包含关系举例。

是马尔可夫却不是鞅的过程：带飘移的布朗运动：[公式]。此时无记忆性并不违背，因为[公式]与[公式]都具有独立增量，因此知道路径并不会比知道最近的点要优越。但是这个过程却不是鞅，因为它并不公平。由于飘移项的引入，其均值会一直增大，在赌博中，如果你的期望收益一直变大，那这个游戏一定不会是公平的。因此，这个过程是马尔可夫却不是鞅。

是鞅却不是马尔可夫的过程：过程相关的Ito积分：[公式]。此时[公式]在t时刻的增量会是与过去所有路径[公式]的积分相关的随机变量。此时仅仅知道最近一点的观察值不足以给出很好的预测，我们需要知道全部的路程。但这个过程却会是鞅，因为每一个增量都可以表示成路径和布朗运动增量的和，而布朗运动均值为零，故其增量会为零，不违背鞅的性质。因此，这个过程是鞅而不是马尔可夫。

2. 直观理解

Martingale的词本意是指马车上马夫控制马前进的缰绳（如果我记得没错的话），所以从词源来看刻画了一种过程前进（未来）与现在出发点关系的含义。具体来说缰绳的作用是使得马车的前进方向与现在所冲的方向一致，所以在概率上来解释就是未来发生的所有路径可能性的期望值与现在的出发点一致。

从这个意义上来说Matingale的核心是说明了一个过程在向前演化的过程中的稳定性性质。但它并没有说明这个过程是如何到达这一时间点的（是否由上一个时间点所在的位置决定，matingale并没有说明）。再用马车的例子来说，Martingale告诉了你马车在未来是怎么向前走的，中间会有左右的波动（比如马、车夫走神了，路上有坑马要绕开，etc.），但整体来说马是沿着一条直线向前走的。

而马尔科夫过程的核心在于点明了过程的演化是无记忆性的。还拿马车来举栗子，假设车夫喝醉了，他没有意识并在一个很大的广场，马车下一刻前进的方向并不需要是一条直线（经过车夫与马的直线，这种情况下缰绳是绷直的，是martingale），或者说缰绳由于车夫没绷紧是松垮的，这种情况下马车在下一刻可以去任何一个方向，整体上来说前进方向也不必须有什么稳定性规律可循，但整个过程唯一的共性是马迈出前腿的时候，能够到达的所有可能范围，是由它的后腿（你现在所在的位置）决定的（但马可能扭一扭屁股，身子弯曲一下，所以不必须走直线，不必需走直线，不必需走直线！），而并没有由上一步马所在的位置决定，这也就是所谓的无记忆性。

所以从这两个角度来理解，两个名词
有共性：都从一个过程的全生命角度描画了一个过程的演进性质，

有重叠：当还是马车例子的时候,martingale也是一个markov（因为虽然走直线，但下一刻的位置还是只由现在决定，只是马身子不能扭曲，不能改变方向），这个例子在概率上最熟悉的模型就是brownian motion了；而反过来，马车未来位置由现在决定，又走直线，所以此时markov process 也是一个martingale （例子还是brownian motion）；

但更重要的是两个过程本质上不是在讲一回事：比如还是马车车夫，喝醉了但走在一个三维空间，这时候它是一个markov process,但是由于方向不确定，此时已经不是martingale而变成了一个local martingale；而反过来，假设有一个错帧宇宙，空间共享但时间差一天，这时候同一个马车走在不同的宇宙里（但行走轨迹独立），缰绳拉直，此时两架马车都走之前，两架马车组成的系统是一个martingale，但是由于下一时刻前进的方向与宇宙1中的此时有关，也与宇宙2中的昨天有关，所以两架马车组成的系统就不再是一个markov了。

总结一下，brownian motion (wiener process)既是markov process 又是 martingale; 而markov process 与martingale是相交而非包含与反包含关系。只能说你中有我我中有你，但你不属于我我也不属于你…