《实变函数》作业
一．判断题
1． 可测的充要条件是可测。 （ ）
2．所有无理数构成的集合是可数集。 （ ）
3．如果在上单调减少，则在上可测。 （ ）
4．直线上任意非空开集均可表示为至多可数个两两不交的开区间的并。 （ ）
5．若是不可数集，则 。 （ ）
6．若函数在上黎曼可积，则至多有可数个间断点。 ( )
7．可数集合的任意并是可数集合。 （ ）
8．中既开且闭的集只有空集与。 （ ）
9．如果函数是上的单调函数，则在上是黎曼可积。 （ ）
10.若，则是可测集。 （ ）
11.定义上的狄利克雷函数

在上几乎处处连续。 （ ）
12.集合上的常值函数必可积。 （ ）
13、区间[0，1]是一个可数集合。 （ ）
14、有界可测集合上的连续函数一定是可测函数。 （ ）
15、Rieman可积函数一定是Lebegus可积函数。 （ ）
16、[0，1]上的无理数是一个可数集合。 （ ）
17、有界可测集合上的连续函数一定是可测函数。 （ ）
18、有界区间上Rieman可积函数一定是Lebegus可积函数。 （ ）
19、设是一个无限集合，则至少有一个聚点。 （ ）
20、如果在上几乎处处收敛于，则在上。 （ ）
21． （ ）
22．若至少有一个内点，则。 （ ）
23．在一切集合的基数中，是最大的基数。 （ ）
24．若是可测集，则的任一子集均可测。 （ ）
25、设，则的特征函数是可测函数的充要条件是为可测集。 （ ）
26、单调函数的不连续点之集是至多可数集。 （ ）

二．
1．证明：
2．试找出使和之间一一对应的一种方法。
3试列出使集合和一一对应的方法。
4证明：
5、证明
6、证明：可数点集是Lebesgue 可测集，并求其测度。
7、证明：
8．证明：
9. 作出一个和的一一对应，并写出这个一一对应的解析表达式。
10. 证明：由直线上互不相交的开区间作为集的元素，则至多为可数集。

三．证明题

1. 设是上几乎处处有限的可测函数列，，而几乎处处收敛于有限函数，则对任意的，存在常数与可测集，，使在上，对一切，有。
2. 设是上的实值连续函数，证明：，集合是闭集。
3. 设在可积，则对任何，必存在上的连续函数，使得
   .
4. 设在上，且几乎处处于上成立， 试证在上几乎处处成立。
5. 设是的个可测子集，假定中的任一点至少属于这个集合中的个，证明：必有一个集，它的测度不小于。
   6.设在Cantor集上定义函数，而在的余集中长为的构成区间上定义。试证在上可积，并求出积分值。
6. 设在上，且几乎处处成立， 则几乎处处有收敛于。
7. 试从，，证明.
8. 证明：
9. 设，在上可积。如果对于任何有界可测函数，都有

证明：在上几乎处处成立。
11. 设为上非负可积函数列，若

证明：。
12. 证明：
。
13．设是直线上的一个有界集合，，则对任意小于的正数，存在的子集，使得
14设为全集，证明：
15设是上的实值连续函数，证明对任意的常数，集合

是一个闭集。
16设是一些互不交的可测集，，证明：

17设是上的实值连续函数，证明对任意的常数，集合

是一个开集。

18、设是上的实值连续函数，证明：，集合是开集。
19、证明：可数点集的外测度为零。
20. 证明：由直线上互不相交的开区间作为集的元素，则至多为可数集。
21、设是直线上的一个有界集合，，则对任意小于的正数，存在的子集，使得
22、设是上的实值连续函数，证明：，集合是闭集。
23、设是上的连续函数，是上的可测函数，证明：是可测函数。