前言

在学习级数的过程中,读到欧拉变换,觉得非常巧妙,而且在之后发散级数的学习中作者曾提出原级数在发散的情况下欧拉变换后的级数仍有可能收敛(例如1-1+1-1+1-...,当然这是Cesaro和意义下的结果或是解析延拓意义下的结果,其级数本身就是发散级数,这是毋庸置疑的,此级数的求和前提是在什么理论体系下讨论,正如自然数之和为

是在特定的理论体系之上建立的.单纯的将其拿出来讲是不严谨的).因此更觉得精妙,虽然仍有许多疑问,但仍将自己学会的内容共享,欢迎指出错误.

现考虑下列收敛级数:

在变换之前引入差分的概念:

我们通过数学归纳法得到:

于是我们开始变形以下

:

现在我们把

提出,可得:

保留第一项

,考虑后项:

可以发现从中又有相似的结构出现,于是我们反复使用变形,可以得到:

其中

是余项,现考虑

我们将差分的公式

代入得到:

整理可得:

考虑到原级数的余项

因此我们代入到

中,得到:

因为

,所以我们得到:

由此,我们证明了级数的欧拉变换是可行的,以下等式是成立的.

特别的,我们将

代入,易得:

例.

这是

的莱布尼兹公式,下面开始变形,

令

,通过数学归纳法,我们得到:

将其代入公式得到:

即:

我们将前者与后者的收敛速度进行对比:

利用

在当

时,

,误差大小

.

通过欧拉变换得到的新级数,我们可以得到在当

时,

,误差大小

.

(每次对比都取

.利用python进行数据计算).

参考资料:《微积分学教程·第二卷》,菲赫金戈尔茨著,P322-P324.

作者:Playmaker