学习手记(2018/7/14~2018/7/18)—

学习手记(2018/7/14~2018/7/18)——快乐纪中

2018/7/14：普通的纪中一天

儿子兄弟表示法

将一颗多叉树转换为二叉树的方法，左子节点连原树的第一个儿子，右子节点连原树的右边的兄弟
这里写图片描述
适用范围：树形dp

数位dp常见方法

状态压缩

分类讨论
记忆法（记忆化搜索）

手推exgcd

$a x + b y = g c d (a, b)$
$bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b)$
展开 $(a%b)(a\%b)$
$bx′+(a−⌊a/b⌋b)y′=gcd(b,a%b)bx'+(a-\lfloor a/b\rfloor b)y'=gcd(b,a\%b)$
拆开括号
$bx′+ay′−⌊a/b⌋by′=gcd(b,a%b)bx'+ay'-\lfloor a/b\rfloor by'=gcd(b,a\%b)$
将 $a$ 和 $b$ 取出
$ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)=gcd(b,a%b)ay'+b(x'-\lfloor a/b\rfloor y')=gcd(b,a\%b)$
$∵gcd(a,b)=gcd(b,a%b)\because gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
$∴ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)=ax+by\therefore ay'+b(x'-\lfloor a/b\rfloor y')=ax+by$
将两边的 $a$ 和 $b$ 取出
$y′+(x′−⌊a/b⌋y′)=x+yy'+(x'-\lfloor a/b \rfloor y')=x+y$
然后由于两边是等价的
$∴{x=y′y=(x′−⌊a/b⌋y′)\therefore \left\{\begin{matrix} x=y' \\ y=(x'-\lfloor a/b \rfloor y') \end{matrix}\right.$

2018/7/16：腐败普通的纪中一天

gcd证明

$我们设 d = g c d (a, b)$
$∵d∣a,d∣b\because d\mid a,d\mid b$
$∴d∣a%b\therefore d\mid a\%b$
$设gcd(b,a%b)=d′设gcd(b,a\%b)=d'$
$∵d′∣b,d′∣a%b\because d'\mid b,d'\mid a\%b$
$∴d′∣a\therefore d'\mid a$
$gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

2018/7/17：颓废普通的纪中一天

时间复杂的与数据范围

$n⩽15：O(2n)n\leqslant 15\ \ \ ：\ \ \ O(2^n)$
$n⩽70：O(n4)n\leqslant 70\ \ \ ：\ \ \ O(n^4)$
$n⩽500：O(n3)n\leqslant 500\ \ \ ：\ \ \ O(n^3)$
$n⩽5000：O(n2)n\leqslant 5000\ \ \ ：\ \ \ O(n^2)$
$n⩽104：O(nn)n\leqslant 10^4\ \ \ ：\ \ \ O(n\sqrt n)$
$n⩽105：O(n(logn)2)n\leqslant 10^5\ \ \ ：\ \ \ O(n\ \ (log\ n)^2)$
$n⩽5∗105：O(nlogn)n\leqslant 5*10^5\ \ \ ：\ \ \ O(n\ \ log\ n)$
$n⩽106：O(nloglogn)n\leqslant 10^6\ \ \ ：\ \ \ O(n\ \ log\ log\ n)$
$n⩽5∗106：O(n)n\leqslant 5*10^6\ \ \ ：\ \ \ O(n)$
$n⩽2147483647：O(n)n\leqslant 2147483647\ \ \ ：\ \ \ O(\sqrt n)$
$n⩽max_longlong：O(logn)n\leqslant max\_longlong\ \ \ ：\ \ \ O(log\ n)$

2018/7/18：罕见正常的纪中一天

gcd的和之一

$∑i=1ngcd(n,i)\sum_{i=1}^n gcd(n,i)$
$=$
$∑d∣nφ(n/d)×d\sum_{d|n} \varphi(n/d)\times d$
证明与例题：https://blog.csdn.net/mr_wuyongcong/article/details/81104903