正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P5004

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题目大意

把$N$个无色格子排成一行，可以把某些格子染成黑色，但两个黑色格子之间必须至少有$M$个无色格子，求方案数

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解题思路

首先很明显
$$f_n=\sum _{i=0}^{n-m-1}{f}_i$$

然后我们发现${\sum }_{i=0}^{n-m-1}{f}_i$就是前缀和，那我们在矩阵乘法中维护一个前缀和
$$A=\left[\begin{array}{c}{\sum }_{i=0}^{n-m-1}{f}_i\\ f_{n-m}\\ f_{n-m+1}\\ ...\\ f_{n-1}\\ f_n\end{array}\right]$$
然后看着转移就好了。

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$code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const ll Size=20,XJQ=1e9+7;
struct matrix{ll a[Size][Size];
}f;
ll n,m;
matrix operator *(matrix a,matrix b)
{matrix c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(ll i=0;i<=m;i++)for(ll j=0;j<=m;j++)for(ll k=0;k<=m;k++)(c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%XJQ)%=XJQ;return c;
}
matrix power(matrix f,ll b)
{b--;matrix ans;memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));for(int i=0;i<=m;i++)ans.a[0][i]=1;ans.a[0][m]++;while(b){if(b&1) ans=ans*f;f=f*f;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++)f.a[i][i-1]=1;f.a[0][m]=1;f.a[m][m]=1;f=power(f,n);printf("%lld",f.a[0][m]);
}