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$\phi$的奥秘之1

$$\phi (n)=\prod (p_i(p_i-1{)}^{a_i-1})$$

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某不科学的知识

∑i=1min{n,m}i2=i∗(i+1)∗(2∗i+1)6\sum_{i=1}^{min\{n,m\}} i^2=\frac{i*(i+1)*(2*i+1)}{6}i=1∑min{n,m}​i2=6i∗(i+1)∗(2∗i+1)​

数学归纳法证明:

∑i=1min{n,m}x2=x∗(x+1)∗(2∗x+1)6\sum_{i=1}^{min\{n,m\}} x^2=\frac{x*(x+1)*(2*x+1)}{6}i=1∑min{n,m}​x2=6x∗(x+1)∗(2∗x+1)​
(∑i=1min{n,m}x2)+(x+1)2=x∗(x+1)∗(2∗x+1)6+(x+1)2(\sum_{i=1}^{min\{n,m\}} x^2)+(x+1)^2=\frac{x*(x+1)*(2*x+1)}{6}+(x+1)^2(i=1∑min{n,m}​x2)+(x+1)2=6x∗(x+1)∗(2∗x+1)​+(x+1)2
$$=>\frac{(x+1)\ast (2\ast x^2+x)+6(x+1{)}^2}{6}$$
$$=>\frac{(x+1)\ast (2\ast x^2+7x+6)}{6}$$
$$=>\frac{(x+1)\ast (x+2)\ast (2\ast x+3)}{6}$$
$$=>\frac{(x+1)\ast (x+2)\ast (2\ast (x+1)+1)}{6}$$

证毕

能力测验

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二维费用

若要求两种费用，一种最值的情况下另一种最值。

那么我们可以把一个数分为两块:

如要求$W$最大的情况下$V$最大，那么也就是要求$W\ast maxV+V$最大

追查坏牛奶Pollutant Control

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自然の对数大法

有些东西要求乘积但是发现只有求和的算法就可以用自然对数
$$log(ab)=log(a)+log(b)$$

THE MATRIX PROBLEM

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斐波那契数列与三角形

一个序列选择任意三个数字都不能组成三角形那么这个序列最小的话就是斐波那契数列。

序列

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$BST$大法好

$BST$满足先序遍历是单调的。

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点阵迷踪

一个$n\ast n$的点阵中
$(1,1)$到$(x,y)$的线段上有$gcd(x,y)+1$个点(包含两个端点)。

证明

只要$x/d$和$y/d$均为整数那么$(x/d,y/d)$就是一个点
那么$d|x,d|y$
并且$d|gcd(x,y)$
那么$gcd(x,y)\ge n/d>1$

证毕

题目链接:
仪仗队
能量采集

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$Cayley$公式

证明：

先证明标号树枝的个数
先是$n$个没有边的点，加入了$k$条边后剩下的可以加边的个数为$n(k-1)$
（从任意一个点为根，然后要连接不是这个点所在树枝的根）
然后答案就应该是
$$\prod _{i=1}^{n-1}n(n-i)=n^{n-1}(n-1)!$$

然后不标号的话就是$n^{n-2}$

证毕

推导得

1. $n$个不同点的有根树个数为$n^{n-1}$
2. $n$个不同点的无根树个数为$n^{n-2}$

父子

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质嘤数分解の1

$$n=\prod p_i^{c_i}$$
$$\Rightarrow n^2=\prod p_i^{2\ast c_i}$$
樱花

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费马小的妙用の1

$$a^{p-1}\equiv 1(modp)$$
$$\Rightarrow a^k\equiv a^{k\%(p-1)}(modp)$$
$$\Rightarrow a^k\equiv a^{k\%(p-1)}(modp)$$
并且$a$自己幂自己$b$次以后答案是$$a\#b\equiv a^{a^{b-1}\%(p-1)}(modp)$$

证明——数学归纳法

$b=1$时成立
$$(a^{a^{b-1}\%(p-1)}{)}^a$$
$$(a^{a^{b-1}\%(p-1)}{)}^{a\%(p-1)}$$
$$a^{a^{b-1}\ast a\%(p-1)}$$
$$a^{a^b\%(p-1)}$$

证毕
LJJ算数

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神仙の调和级数

$$\sum _{x=1}^n\frac{1}{x}=\log (n+1)+r(n\to \infty )$$
$r$为欧拉函数$r\approx 0.5772156649$
LocalMaxima

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和与积的奥秘の一

当$$xy=s$$时
$x+y$最大为$2\sqrt{s}$
华华教奕奕写几何

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$dp$の费用提前计算法

有些题目不太方便计算到后面的时候再计算这一步要的费用。那么我们可以考虑费用提前计算法：
费用提前计算法就是计算这一步执行后会对后面的步骤产生什么费用然后提前计算入$f$中
一般适用于一些一个东西需要多少时间这个东西越往后执行就会产生越多的费用，一般能直接省掉一个维度或者减少一个维度的大小。

不过注意使用费用提前计算法的时候会导致过程中的$f_i$与原本设定的意思不同(因为后面的费用已计算进去了)。
清兵线

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插板法不全的大全

长度为$n$的序列分成$k$段方案数时$C_{n+k-1}^{k-1}$(每段可以为空)
长度为$n$的序列分成$k$段方案数时$C_n^k$(每段不能为空)
长度为$n$的序列分成$k$段每段至少长$s$时方案数时$C_{n-k\ast (s-1)}^k$
小a的强迫症

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区间の或和 带 区间の异或

$$sum(orxora)=(sum(or)\&\sim a)|(\sim sum(and)\&a)$$
$$sum(andxora)=(sum(and)\&\sim a)|(\sim sum(or)\&a)$$
子异和