正题

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1447

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题目大意

求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)\ast 2-1$$

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解题思路

设$f_i$表示$gcd(x,y)==i(x\in [1..n],y\in [1..m])$的个数。
然后首先如果不是考虑$i$为最大的公约数的话那么个数就是$(n/i)\ast (m/i)$

然后考虑容斥减去，假设一个数的最大公约数是$y$而且拥有$x$这个公约数的话那么一定满足
$$y=kx(k\in \mathbb{N})$$
那么就减去$f_{k\ast i}$就好了

所以推得状态转移方程fi=(n/i)∗(m/i)−∑k=1k∗i≤min{n,m}fi∗kf_i=(n/i)*(m/i)-\sum_{k=1}^{k*i\leq min\{n,m\}}f_{i*k}fi​=(n/i)∗(m/i)−k=1∑k∗i≤min{n,m}​fi∗k​

时间复杂度$O(n\log \log n)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,ans,f[101000];
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);if(n>m) swap(n,m);for(ll i=n;i>=1;i--){f[i]=(n/i)*(m/i);for(ll j=2*i;j<=n;j+=i)f[i]-=f[j];ans+=(i*2-1)*f[i];}printf("%lld",ans);
}