正题

题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3258

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题目大意

一张无向图，路有边权，在想要封锁某条路可以在该路两边的任意一点设置检查站(一个站只能封锁一条路)，在$i$点建立一个检查站要$A_i$元。

求最少的费用封锁所有的最短路径，并询问封锁方案是否唯一

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解题思路

先从$1$开始一遍最短路$f$，然后从$n$开始再跑一次最短路$f2$

若一个点$f_x+f{2}_x=f_n$那么该点是$1\sim n$的某条最短路上的一个点。
若一条边$f_x+w=f_y$那么该边是某条最短路上的边。

然后我们将这些点和边拿出来跑最小割即可求出第一问。

我们考虑如何求第二问，为了优化，我们发现每一条边可以有两个权值(在两个检查点中任何一个)，所以我们将一条边拆成两条边和一个中间点。

现在我们考虑求出最小割的必割边，若这些必割边的容量之和就是最小割那么这就是唯一的方案。

如何求出必割边？
$\ast$结论$:$对于一条边$x,y$，在残量网络上$s$可以到达$x$且$y$可以到达$t$那么该边是必割边。

证明:在残量网络上$s$可以到达$x$且$y$可以到达$t$那么说明若该边不割那么$s$就可以通过该边到达$t$。假设在$s$到$x$的路上有同样长度的一条道路且割掉后可以使$s$到达$x$那么在残量网络上该边的流量必定为0，因为切割掉$x->y$的流量也必定会经过该边所以在残量网络上$s$就不可以到达$x$了。所以该假设不成立。

证毕

所以我们在残量网络上跑两次$dfs$然后一条一条边的判断即可。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5010,inf=1e18;
struct Edge_Node{ll to,next,w;
}a[N*2],e[N*2];
ll T,ls[N],tot=1,n,m,c[N],f[N],dep[N],s,t,ans,cnt,flow,f2[N],get[N];
bool v[N];
queue<int> q;
void adde(ll x,ll y,ll w)
{a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;a[++tot].to=x;a[tot].next=ls[y];ls[y]=tot;a[tot].w=0;
}
void addl(ll x,ll y,ll w)
{e[++cnt].to=y;e[cnt].next=ls[x];ls[x]=cnt;e[cnt].w=w;
}
void spfa(ll s)
{memset(f,127,sizeof(f));for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=inf;q.push(s);f[s]=0;v[s]=1;while(!q.empty()){ll x=q.front();q.pop();v[x]=0;for(ll i=ls[x];i;i=e[i].next){ll y=e[i].to;if(f[x]+e[i].w<f[y]){f[y]=f[x]+e[i].w;if(!v[y])v[y]=1,q.push(y);}}}
}
void spfa2(ll s)
{memset(f2,127,sizeof(f2));for(int i=1;i<=n;i++)f2[i]=inf;q.push(s);f2[s]=0;v[s]=1;while(!q.empty()){ll x=q.front();q.pop();v[x]=0;for(ll i=ls[x];i;i=e[i].next){ll y=e[i].to;if(f2[x]+e[i].w<f2[y]){f2[y]=f2[x]+e[i].w;if(!v[y])v[y]=1,q.push(y);}}}
}
bool bfs()
{memset(dep,0,sizeof(dep));while(!q.empty()) q.pop();q.push(s);dep[s]=1;while(!q.empty()){ll x=q.front();q.pop();for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(!dep[y]&&a[i].w){dep[y]=dep[x]+1;if(y==t) return true;q.push(y);}}}return false;
}
ll dinic(ll x,ll flow)
{ll rest=0,k;if(x==t) return flow;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(dep[x]+1==dep[y]&&a[i].w){rest+=(k=dinic(y,min(a[i].w,flow-rest)));a[i].w-=k;a[i^1].w+=k;if(rest==flow) return flow;}}if(!rest) dep[x]=0;return rest;
}
void netflow()
{while(bfs())ans+=dinic(s,inf);
}
void dfs(ll x,ll op)
{if(get[x]) return;get[x]=op;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(!a[i^(op-1)].w) continue;dfs(y,op);}
}
int main()
{scanf("%lld",&T);while(T--){memset(ls,0,sizeof(ls));tot=cnt=1;scanf("%lld%lld",&n,&m);s=1;t=n;ans=flow=0;c[n]=inf;for(ll i=1;i<n;i++)scanf("%lld",&c[i]);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y,w;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&w);addl(x,y,w);addl(y,x,w);}spfa(1);spfa2(n);memset(ls,0,sizeof(ls));for(int i=1;i<=n;i++)get[i]=(f[i]+f2[i]==f[n]);for(ll i=2;i<=cnt;i++){ll x=e[i^1].to,y=e[i].to;if(!get[x]||!get[y]) continue;if(f[x]+e[i].w==f[y]){++n;adde(x,n,c[x]); adde(n,y,c[y]);}}netflow();memset(get,0,sizeof(get));dfs(1,1);dfs(t,2);for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=ls[i];j;j=a[j].next)if(get[i]&&get[a[j].to]&&get[i]!=get[a[j].to])flow+=a[j].w;if(flow==ans) printf("Yes");else printf("No");printf(" %lld\n",ans);}
}