线段树专题-黑白棋盘

题目来源

$BZOJ-1453$

题意

• $Q$次操作
• 每次操作给出$(x,y)$,将$(x,y)$个格子颜色取反
• 每次操作后,输出棋盘上黑白联通块的个数
• $n\le 100,Q\le 10^4$

题解

显然不能直接套并查集,因为直接套并查集的时间复杂度为$O(n^{2}Q)=10^8$

考虑使用线段树维护并查集.

线段树维护的是$[l,r]$行中黑白联通块的数量,其中重点维护$l,r$两行的并查集.

遇到合并操作的时候,如把$[l_1,r_1]$与$[l_2,r_2]$做合并.

首先将各自的黑白联通块数量合并到$[l_1,r_2]$中去,然后再从中减去并查集合并时候造成的联通块减小的部分数.

首先构建一颗大小为$4n$的并查集,把$l_1$并查集放于第一层,$r1$并查集放于第二层,把$l_2$并查集放于第三层,$r2$并查集放于第四层.注意此时第一层和第二层有关系,第三层和第四层有关系.然后枚举$i:[1,n]$,打通第二层和第三层之间的关系,并更新黑白联通块的个数.

因为中间的二三层在做完以上操作的时候已经没有用了,因此我们要把它们删掉,并且将规模$4n$的并查集缩小至$2n$.

我们需要玩一个小$tric$,即把第一层的并查集的根节点全都换成第一层里的数,把第四层并查集里的根节点全都换成第二层里的数.这样的话并查集又可以缩小为$2n$了.

小tric的代码

rep(i,1,n) {tmp[findset(pa,pa[i])] = i;tmp[findset(pa,pa[i+3*n])] = i+n;
}
rep(i,1,n) {ns[rt].pa[i] = tmp[findset(pa,pa[i])];ns[rt].pa[i+n] = tmp[findset(pa,pa[i+3*n])];
}

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>#define rep(x,a,b) for(int x = a;x <= b;++x) 
#define pr(x) std::cout << #x << ":" << x << std::endl
const int N = 201;
int n,m;
int bit[N][N];
void initset(int pa[],int n) {rep(i,1,n) pa[i] = i;}
int findset(int pa[],int x) {return x == pa[x]?x:pa[x] = findset(pa,pa[x]);}
int join(int pa[],int x,int y) {int px = findset(pa,x),py = findset(pa,y);if(px != py) {pa[px] = py;return true;}return false;
}
struct Node{int pa[2*N];int color[2];void init(int line) {color[0] = color[1] = 0;initset(pa,n);rep(i,1,n-1) if(bit[line][i] == bit[line][i+1])join(pa,i+1,i);rep(i,1,n) pa[i+n] = pa[i];rep(i,1,n)if(findset(pa,i) == i) color[bit[line][i]] ++;}
}ns[N<<2];
int pa[N<<2],tmp[N<<2];
void maintain(int rt,int l,int r){int mid = (l + r) / 2;int lc = rt << 1,rc = rt << 1 | 1;rep(i,1,2*n) {pa[i] = ns[lc].pa[i];pa[i+2*n] = ns[rc].pa[i] + 2*n;}ns[rt].color[0] = ns[lc].color[0] + ns[rc].color[0];ns[rt].color[1] = ns[lc].color[1] + ns[rc].color[1];rep(i,1,n) {if(bit[mid][i] == bit[mid+1][i]) {if(join(pa,i+2*n,i+n)){ns[rt].color[bit[mid][i]] --;}}}rep(i,1,n) {tmp[findset(pa,pa[i])] = i;tmp[findset(pa,pa[i+3*n])] = i+n;}rep(i,1,n) {ns[rt].pa[i] = tmp[findset(pa,pa[i])];ns[rt].pa[i+n] = tmp[findset(pa,pa[i+3*n])];}
}
void build(int rt,int l,int r) {if(l == r) {ns[rt].init(l);return ;}int mid = (l + r) / 2;build(rt<<1,l,mid);build(rt<<1|1,mid+1,r);maintain(rt,l,r);
}
void change(int rt,int l,int r,int pos) {if(l == r) ns[rt].init(l);else {int mid = (l + r) / 2;if(pos <= mid) change(rt<<1,l,mid,pos);else change(rt<<1|1,mid+1,r,pos);maintain(rt,l,r);}
}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin >> n;rep(i,1,n) rep(j,1,n) {std::cin >> bit[i][j];}build(1,1,n);//std::cout << ns[1].color[0] << " " << ns[1].color[1] << std::endl;std::cin >> m;while(m--) {int x,y;std::cin >> x >> y;bit[x][y] ^= 1;change(1,1,n,x);std::cout << ns[1].color[1] << " " << ns[1].color[0] << std::endl;}
}