正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4331

---

题目大意

给出一个序列$a$，求一个单调上升的序列$b$使得${\sum }_{i=1}^n|a_i-b_i|$最小。

---

解题思路

巧妙的解法

首先我们让所有的$a_i-i$这样我们求的$b$序列就只需要满足单调不降。

然后考虑特殊情况

• 对于一串连续的满足$a_x\le a_{x+1}$那么这一段的$b_x=a_x$
• 对于一串连续的满足$a_x\ge a_{x+1}$那么这一段的$b_x$为这一段数的中位数

而且对于连续的两个区间$(L,mid)$和$(mid+1,R)$的局部最优解也满足一下性质，所以就有做法：

我们维护若干段局部最优解$w$，每次加入一个数$a_i$如果满足$a_i\ge w_{cnt}$那么有$b_i=a_i$。如果$a_i\le w_{cnt}$那么我们就将$a_i$合并入前面的局部最优解，并重新计算这一段的中位数后继续看是否需要与前面合并（即判断是否$w_{cnt}\ge w_{cnt-1}$）。

我们可以左偏树做到动态合并和维护中位数（保持堆中个数为一半即可）。时间复杂度$O(n\log n)$

---

$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,cnt,a[N],rt[N],L[N],R[N];
int t[N][2],dis[N],val[N],siz[N];
long long ans;
int Merge(int x,int y){if(!x||!y)return x+y;if(val[x]<val[y])swap(x,y);int &ls=t[x][0],&rs=t[x][1];rs=Merge(rs,y);if(dis[ls]<dis[rs])swap(ls,rs);dis[x]=dis[ls]+1;return x;
}
void Pop(int x)
{siz[x]--;rt[x]=Merge(t[rt[x]][0],t[rt[x]][1]);}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),a[i]-=i;for(int i=1;i<=n;i++){siz[++cnt]=1;val[i]=a[i];rt[cnt]=i;L[cnt]=R[cnt]=i;while(cnt>1&&val[rt[cnt-1]]>val[rt[cnt]]){cnt--;siz[cnt]+=siz[cnt+1];R[cnt]=R[cnt+1];rt[cnt]=Merge(rt[cnt],rt[cnt+1]);while(siz[cnt]>(R[cnt]-L[cnt])/2+1)Pop(cnt);}}for(int i=1;i<=cnt;i++)for(int j=L[i];j<=R[i];j++)ans+=abs(a[j]-val[rt[i]]);printf("%lld\n",ans);for(int i=1;i<=cnt;i++)for(int j=L[i];j<=R[i];j++)printf("%d ",val[rt[i]]+j);
}