正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3599

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题目大意

构造一个$n$的排列，要求满足其中一个给定的要求

1. 对于每个前缀和在模$n$意义下不同
2. 对于每个前缀积在模$n$意义下不同

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解题思路

对于加法，显然$n$要填在第一位，那么这一位的前缀和就是$0$了。并且如果$n$是奇数那么有$({\sum }_{i=1}^{n}i)\%n=0$所以$n$不能是奇数。对于$n$是偶数的情况，我们可以将一个数$i$在模$n$意义下视为$-(n-i)$。所以我们可以构造一个波动序列也就是$$n,1,-2,3,-4,5,-6...$$
对于乘法，$n$要填在最后，$1$要填在第一位，然后如果$n$是一个合数，那么有$({\prod }_{i=1}^{n}i)\%n=0$也就是有两个$0$，所以无解。那么$n$是一个质数的情况，我们知道在模$n$意义下对于每个数都有一个不同的逆元，考虑构建一个$a_i=\frac{1}{i-1}\ast i$的序列，这样$s_i=i$。

如何证明$a_i$在模$n$意义下各不相同，设$a_i=a_j=k$那么有$$(i-1)k\%n=i,(j-1)k\%n=j$$
$$\Rightarrow (i-j)k\%n=(i-j)$$
要求$k\ne 1$所以不成立。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll idx,n,T;
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%n;x=x*x%n;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&idx,&T);while(T--){scanf("%lld",&n);if(idx==1){if(n==1)printf("2 1");else if(n&1)printf("0");else {printf("2 ");ll k=0;for(ll i=1;i<=n;i++){if(i&1)printf("%lld ",n-k);else printf("%lld ",k);k++;}}}else{bool flag=0;if(n==1)printf("2 1");else if(n==4)printf("2 1 3 2 4");else{for(ll i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0){flag=1;break;}if(flag){printf("0\n");continue;}printf("2 1 ");ll last=1;for(ll i=2;i<n;i++){ll k=power(last,n-2)*i%n;last=last*k%n;printf("%lld ",k);}printf("%lld",n);}}putchar('\n');}
}