正题

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题目大意

$n$座山在一条线上，有$m$只猫，第$i$只从$t_i$开始在第$x_i$座山上游玩结束。

派$p$个人在不同时间从$1$走到$n$接走所有游玩结束的猫，求所有猫的最小等待时间。

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解题思路

对于一只猫$i$，就是要求从$t_i-{\sum }_{j=1}^{x_i}{d}_j$时刻出发才可以接到。后文直接让$t_i=t_i-{\sum }_{j=1}^{x_i}{d}_j$。排序后求一个前缀和$s$以方便后面计算。

那么我们肯定是直接接连续的一段$t_i$来接，我们设$f_{i,j}$表示到第$i$个人，接送了前$j$只猫时的最小等待时间和。那么有转移方程fi=min{fj+ti(i−j)−(si−sj)}f_i=min\{f_{j}+t_i(i-j)-(s_i-s_j)\}fi​=min{fj​+ti​(i−j)−(si​−sj​)}
$$f_i-s_i-t_{i}i=f_j-t_{i}j+s_j$$
设两个$j,k(j>k)$中的$j$优于$k$
$$f_j-t_{i}j+s_j<f_k-t_{i}k+s_k$$
设$z_i=f_i+s_i$
$$z_j-z_k<t_i(j-k)$$
$$\frac{z_j-z_k}{j-k}<t_i$$

斜率优化即可，时间复杂度$O(np)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,m,p,d[N],t[N],f[101][N],s[N],z[N],q[N];
int main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);for(ll i=2;i<=n;i++)scanf("%lld",&d[i]),d[i]+=d[i-1];for(ll i=1;i<=m;i++){ll x;scanf("%lld%lld",&x,&t[i]);t[i]-=d[x];}sort(t+1,t+1+m);memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0][0]=0;for(ll i=1;i<=m;i++)s[i]=s[i-1]+t[i];for(ll i=1;i<=p;i++){ll l=1,r=1;q[1]=0;for(ll j=1;j<=m;j++)z[j]=f[i-1][j]+s[j];for(ll j=1;j<=m;j++){while(l<r&&z[q[l+1]]-z[q[l]]<=t[j]*(q[l+1]-q[l]))l++;f[i][j]=min(f[i-1][j],z[q[l]]-s[j]+(j-q[l])*t[j]); if(z[j]>=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll)continue;while(l<r&&(z[j]-z[q[r]])*(q[r]-q[r-1])<=(z[q[r]]-z[q[r-1]])*(j-q[r]))r--;q[++r]=j;}}printf("%lld",f[p][m]);return 0;
}