异或

jzoj 2298

题目大意：

定义$nb$数对$a,b$为$gcd(a,b)=a^b$的数对，问不大于$n$的$nb$数对有多少对

输入样例#1

12

输出样例#1

8

输入样例#2

123456

输出样例#2

214394

数据范围

测试点	数据规模
1	10
2	100
3	1000
4	5000
5	10000
6	100000
7	500000
8	1000000
9	5000000
10	20000000

解题思路：

我们第一个想到的就是暴力枚举每一个数对，然后判断，时间复杂度$o(n^{2}lo{g}_n)$会TLE
因为$axorb=c$，则$axorc=b$，所以我们可以枚举c，然后在枚举a是c的几倍，然后用公式求出b，然后再求gcd，判断是否和c一样，时间复杂度$o(n(lo{g}_n{)}^2)$,也会TLE
我们可以经过证明得知b=a-c
证明：
首先$a-b⩽axorb$
我们距离两个二进制数：
$10110$
$11000$
他们相减是$2$
$xor$是14
我们可以发现$xor$是不同位的和
而相减是加某些不同位，再减某些不同位，最大就是所有不同位加，也不大于$xor$
所以$a-b⩽axorb$
然后我们可以发现$a-b⩽c$
我们也列两个例子:
$a=12$
$b=9$
$c=3$
我们设$as=a/c=4$
$bs=b/c=3$
因为a,b都是c的倍数，所以$a-b=as\ast c-bs\ast c=(as-bs)\ast c$
因为$a$不等于$b$
所以$as-bs⩾1$
所以$(as-bs)\ast c⩾c$
所以$a-b⩾c$
假设存在$c<a-b$
则$c<a-b⩽axorb$
不满足$c=axorb$
所以$c=a-b$
所以$b=a-c$
因此$gcd（a,b）=gcd(a,a-c)=c$
所以我们只需判断是否有$c=axorb$即可

代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,a,b,ans;
int main()
{scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=(n>>1);++i)for (int j=2;i*j<=n;++j){a=i*j;//求出ab=a-i;//相减得到bif (i==(a^b))//判断c是否等于a^bans++;}printf("%d",ans);
}