虚树(Virtual Tree)学习笔记

虚树(Virtual Tree)学习笔记

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一道题目(BZOJ-2286消耗战)

Description
在一场战争中，战场由n个岛屿和n-1个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他k个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。
侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到1号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用m次，所以我们只需要把每次任务完成即可。
Input
第一行一个整数n，代表岛屿数量。
接下来n-1行，每行三个整数u,v,w，代表u号岛屿和v号岛屿由一条代价为c的桥梁直接相连，保证1<=u,v<=n且1<=c<=100000。
第n+1行，一个整数m，代表敌方机器能使用的次数。
接下来m行，每行一个整数ki，代表第i次后，有ki个岛屿资源丰富，接下来k个整数h1,h2,…hk，表示资源丰富岛屿的编号。
Output
输出有m行，分别代表每次任务的最小代价。

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树的点数少

如果树的点数少，可以用\(dp[u]\)表示子树的所有关键点都不连通的最小代价，如果子节点\(v\)是关键点，则一定断开\(uv\)这条边，否则选择是断开\(uv\)，还是使用子树内的边来阻断，转移即可，\(O(nq)\)。

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虚树 Virtual Tree

1. 不难发现其中很多点是无用的，对我们有用的点其实只有所有的关键点和他们之间的\(lca\)，虚树就是在不改变祖先与后代关系的情况下，保留了一些有用点，把一整颗树的信息进行压缩，建出一棵小树。

2. 我们可以通过将关键点按\(dfs\)序排序，求出一些相邻点的\(lca\)，将他们加入虚树中，同时保持祖先与后代的关系，这里可以看出询问\(n\)个关键点时，虚树的节点数N小于等于\(2n-1\)

3. 使用单调栈建虚树，为了方便我们把\(1\)加入虚树中。用单调栈来维护一条虚树上的链，也就是一个栈里相邻的两个节点在虚树上也是相邻的，而且栈是从底部到栈首单调\(dfs\)序递增的。

4. 太懒了。。算法细节还是看这里

5. 对于本题，建出虚树后我们还要维护一些被压缩路径的最小值，可以倍增维护

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int N = 250010;
using namespace std;
int n, q;
struct edge { int e, w, nxt; } E[N << 1];
int cc, h[N];
void add(int u,int v,int w) {E[cc].e = v; E[cc].w = w; E[cc].nxt = h[u]; h[u] = cc; ++cc;
}
int dfn[N], id, fa[N][20], dep[N], mn[N][20];
void dfs(int u, int pre) {dfn[u] = ++ id; fa[u][0] = pre; dep[u] = dep[pre] + 1;for(int i = 1; i <= 19; ++i) {fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];mn[u][i] = min(mn[u][i-1], mn[fa[u][i-1]][i-1]);}for(int i = h[u]; ~i; i = E[i].nxt) {int v = E[i].e, w = E[i].w;if(v == pre) continue;mn[v][0] = w; dfs(v, u);}
}
int lca(int u, int v) {if(dep[u] > dep[v]) swap(u, v);for(int i = 19; i >= 0; --i) if(dep[fa[v][i]] >= dep[u]) v = fa[v][i];if(u == v) return v;for(int i = 19; i >= 0; --i) if(fa[u][i] != fa[v][i]) u = fa[u][i], v = fa[v][i];return fa[u][0];
}
int calmn(int u, int v) {int ans = INT_MAX;if(dep[u] > dep[v]) swap(u, v);for(int i = 19; i >= 0; --i) if(dep[fa[v][i]] >= dep[u]) ans = min(ans, mn[v][i]),  v = fa[v][i];return ans;
}
bool cmp(int u, int v) { return dfn[u] < dfn[v]; }
int a[N], mk[N], stc[N], top;
void build(int a[], int m) {sort(a+1, a+1+m, cmp); stc[top = 1] = 1; cc = 0; h[1] = -1;for(int p, i = 1; i <= m; ++i) {if(a[i] != 1) {p = lca(stc[top], a[i]);if(p != stc[top]) {while(dfn[p] < dfn[stc[top-1]]) {int w = calmn(stc[top-1],stc[top]);add(stc[top-1],stc[top],w); -- top;}if(dfn[p] > dfn[stc[top-1]]) {int w = calmn(p,stc[top]); h[p] = -1;add(p, stc[top], w), stc[top] = p;}else {int w = calmn(p,stc[top]);add(p, stc[top--], w);}}h[a[i]] = -1, stc[++top] = a[i];}}for(int w, i = 1; i < top; ++i) {w = calmn(stc[i], stc[i+1]);add(stc[i],stc[i+1],w);}
}
ll dp[N];
void Dp(int u) {dp[u] = 0;for(int i = h[u]; ~i; i = E[i].nxt) {Dp(E[i].e);if(mk[E[i].e]) dp[u] += E[i].w;else dp[u] += min(1ll*E[i].w, dp[E[i].e]);}
}
int main() {scanf("%d",&n); memset(h,-1,sizeof(h));for(int u, v, w, i = 1; i < n; ++i) {scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);add(u,v,w), add(v,u,w);}   dfs(1,0);scanf("%d",&q);while(q--) { int m;scanf("%d",&m);for(int i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d",&a[i]), mk[a[i]] = 1;build(a, m); Dp(1);printf("%lld\n", dp[1]);for(int i = 1; i <= m; ++i) mk[a[i]] = 0;}
}