正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4161

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题目大意

一个$1\sim n$的排列，$f(x)$表示在置换$x$下置换多少次才能回到原来的排列，求在所有置换下$f(x)$的所有可能的值的数量。

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解题思路

一个置换的$f$值就是这个置换的所有循环大小的$lcm$，问题转换为将$n$分成若干个数的和，求这些数的$lcm$可能的数量。

拆成的一个循环对于$lcm$的贡献我们也可以拆分质因数的形式，所以我们直接让拆分成的数一定是质数是不会影响答案的。

考虑$dp$，设$f_{i,j}$表示已经考虑了前$i$个质数，这些数的和为$j$时的答案，那么有$$f_{i,j}=\sum f_{i,j-pr{i}_j^k}$$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1100;
ll n,f[N][N],pri[N],cnt;
bool v[N];
int main()
{scanf("%lld",&n);for(ll i=2;i<=n;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0)break;}}f[0][0]=1;for(ll i=1;i<=cnt;i++)for(ll j=0;j<=n;j++){f[i][j]=f[i-1][j];if(pri[i]>j)continue;for(ll k=pri[i];k<=j;k*=pri[i])f[i][j]+=f[i-1][j-k];}ll ans=0;for(ll i=0;i<=n;i++)ans+=f[cnt][i];printf("%lld",ans); return 0;
}