[XSY] 计数（DP，NTT，分治）

计数

考虑转化题目，变为网格上有若干个点，要从 $(0, 0)$ 走到 $n,a_{n+1})$ ，每一步只能往右走一步或往上走一步，且若当前在 $(i, j)$ ，必须满足 $0≤j≤ai+10\leq j\leq a_{i+1}$ ，其中 $a_{n+1}=a_n$ 。要对每个 $k$ 求出有多少条恰走过 $k$ 次形如 $(i,ai+1)→(i+1,ai+1)(i,a_{i+1})\to(i+1,a_{i+1})$ 的步的路径数。

上图是n=9的一种情况，题目相当于求在规定只能向右走/向上走的情况下，有多少条从s到t的、不跨越红线（可与红线重叠）的、恰走过 $k$ 次形如 $(i,ai+1)→(i+1,ai+1)(i,a_{i+1})\to(i+1,a_{i+1})$ 的步的路径。

不考虑最后的那个怪异条件，这就是道小奥题（当时用标数法解决）
考虑转化一下最后的条件：
引理： 对于其中一个 $k$ ，其答案等价于从 $(k, 1)$ 走到 $n,a_n)$ 的方案数。
证明： 对 $n$ 归纳，在 $n = 1$ 时显然成立。在 $n > 1$ 时考虑初次走到的横坐标为1的点的纵坐标是什么。
记 $cnt_{(i,j),k}$ 表示从 $(i, j)$ 到 $n,a_{n+1})$ 的、恰走过 $k$ 次形如 $(i,ai+1)→(i+1,ai+1)(i,a_{i+1})\to(i+1,a_{i+1})$ 的步的符合条件的路径数，
$ans_{(i,j)}$ 表示从 $(i, j)$ 到 $n,a_{n+1})$ 的，不考虑走了几次形如 $(i,ai+1)→(i+1,ai+1)(i,a_{i+1})\to(i+1,a_{i+1})$ 的步的符合条件的路径数。
若 $k = 0,$
$cnt(0,0),k=∑y=0a1−1cnt(1,y),kcnt_{(0,0),k}=\sum_{y=0}^{a_1-1}cnt_{(1,y),k}$ （y:初次走到的横坐标为1的点的纵坐标）
$=∑y=0a1−1ans(1,y+1)=\sum_{y=0}^{a_1-1}ans_{(1,y+1)}$ （由归纳假设得出）
$=∑y′=1a1ans(1,y′)=ans(0,1)=\sum_{y'=1}^{a_1}ans_{(1,y')}=ans_{(0,1)}$
若 $k > 0,$
$cnt(0,0),k=∑y=0a1−1cnt(1,y),k+cnt(1,a1),k−1cnt_{(0,0),k}=\sum_{y=0}^{a_1-1}cnt_{(1,y),k}+cnt_{(1,a_1),k-1}$
$=∑y=0a1−1ans(k+1,y+1)+ans(k,a1+1)=\sum_{y=0}^{a_1-1}ans_{(k+1,y+1)}+ans_{(k,a_1+1)}$
$=∑y′=1a1ans(k+1,y′)+ans(k,a1+1)=ans(k,1)=\sum_{y'=1}^{a_1}ans_{(k+1,y')}+ans_{(k,a_1+1)}=ans_{(k,1)}$
考虑如何求 $ans_{(k,1)}$ ：
像我前面说的，小奥标数法肯定正确，但复杂度太低了，我们必须另辟蹊径。 $ans_{(k,1)}$ 难求是因为红线的限制，否则在一个普通的矩形网格内从 $(i, j)$ 到 $(i + a, j + b)$ $(a≥0,b≥0)(a\geq0,b\geq0)$ 的合法路径数可用 $C_{a+b}^{a}$ 算出
因此我们考虑将题目不规则的网格活动区间划分成数个矩形，分治求解。
最自然的想法是每一刀都竖着切，直接划分为若干个竖直的矩形：

但这样太慢了，肯定会T

考虑竖切、横切交替进行，把原区间大概划分成这样：

可以证明复杂度是正确的

考虑具体如何分治：
假设我们切完后把原区间分为了右上、右下矩形、左下三个部分。
题目所求为浅紫线上的点到 $n,a_{n+1})$ ，只向上/向右走、不跨越红线的路径数。
右下矩形部分粉紫线上的点到 $n,a_{n+1})$ ，要么经右下矩形部分的橙线上的点，要么经深紫线上的点，所以
$该段粉紫线上某点到(n,an+1)的路径数=∑粉紫线上该点到右下矩形部分的橙线上某点的路径数×右下矩形部分的橙线上该点到(n,an+1)的路径数+∑粉紫线上该点到深紫线上某点的路径数×深紫线上该点到(n,an+1)的路径数该段粉紫线上某点到(n,a_{n+1})的路径数=\sum粉紫线上该点到右下矩形部分的橙线上某点的路径数\times 右下矩形部分的橙线上该点到(n,a_{n+1})的路径数+\sum粉紫线上该点到深紫线上某点的路径数\times 深紫线上该点到(n,a_{n+1})的路径数$
又因为右下部分为矩形，所以粉紫线上某点到右下矩形部分的橙线上某点的路径数、粉紫线上某点到深紫线上某点的路径数均可用组合数 $O (1)$ 求出。
在分治的第一层，橙线上的点到 $n,a_{n+1})$ 的路径数是已知的(均为1)，但深紫线上的点到 $n,a_{n+1})$ 的路径数未知。所以我们先递归右上部分，求出深紫线上的点到 $n,a_{n+1})$ 的路径数。
如此，我们便可以更新粉紫线上的点到 $n,a_{n+1})$ 的路径数
左下部分浅紫线上的点到 $n,a_{n+1})$ 的路径数可以通过递归左下部分求出，但为此我们必须先求出黄线上的点到 $n,a_{n+1})$ 的路径数：
黄线上的点到 $n,a_{n+1})$ ，要么经右下矩形部分的橙线上的点，要么经深紫线上的点，所以
$黄线上某点到(n,an+1)的路径数=∑黄线上该点到右下矩形部分的橙线上某点的路径数×右下矩形部分的橙线上该点到(n,an+1)的路径数+∑黄线上该点到深紫线上某点的路径数×深紫线上该点到(n,an+1)的路径数黄线上某点到(n,a_{n+1})的路径数=\sum黄线上该点到右下矩形部分的橙线上某点的路径数\times 右下矩形部分的橙线上该点到(n,a_{n+1})的路径数+\sum黄线上该点到深紫线上某点的路径数\times 深紫线上该点到(n,a_{n+1})的路径数$
黄线和粉紫线的更新都可以用NTT搞出来。总时间复杂度 $O(nlog^2n)$

ps:为了保证不重不漏，当我说"某点到 $××\times\times$ 线上某点的路径数"时，那么所到达的该线上的点是所有该线上的点中最先被到达的。
以下图为例，某点到橙线上的 $(x, y)$ 的路径数，统计的路径的最后一步必为 $(x−1,y)→(x,y)(x-1,y)\to(x,y)$
在这里插入图片描述