正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF917D

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题目大意

给出$n$个点的一棵树，对于每个$k$求有多少个$n$个点的树满足与给出的树恰好有$k$条边重合。

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解题思路

矩阵树有一个统计所有树边权和的和用法，就是把变量变成一个形如$wx+1$的多项式，这样一次项系数的值就表示了固定选择一条边的$w$时其他边的方案数之和。

这题我们可以同理，对于在给出数上的边是$x$，而其他就是$1$。那么最后询问$x^k$的系数就是答案了。

如果暴力套$\text{NTT}$不仅麻烦，而且跑的很慢过不了本题，考虑另一种求系数的方法。

我们假设答案是一个形如$F(x)={\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$的$n$次项式，那么我们如果把$n$个$x$的值直接带入求出$F$，然后用待定系数法的话我们就可以列出$n$个方程从而解出这个$n$项式的每一个系数。

时间复杂度$O(n^4)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=110,P=1e9+7;
ll n,x[N],y[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
namespace Guass{ll a[N][N],b[N];void solve(){for(ll i=1;i<=n;i++){ll z=i;for(ll j=i;j<=n;j++)if(a[j][i]){z=j;break;}swap(a[i],a[z]);swap(b[i],b[z]);ll inv=power(a[i][i],P-2);for(ll j=i;j<=n;j++)a[i][j]=a[i][j]*inv%P;b[i]=b[i]*inv%P;for(ll j=i+1;j<=n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=i;k<=n;k++)(a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;(b[j]+=rate*b[i]%P)%=P;}}for(ll i=n;i>=1;i--){for(ll j=i+1;j<=n;j++)(b[i]+=P-b[j]*a[i][j]%P)%=P;}return;}
}
namespace Matrix{ll a[N][N];ll det(){ll f=1,ans=1;for(ll i=1;i<n;i++){ll z=i;for(ll j=i;j<n;j++)if(a[j][i]){if(j!=i)f=-f;z=j; break;}swap(a[i],a[z]);ll inv=power(a[i][i],P-2);ans=ans*a[i][i]%P;for(ll j=i;j<n;j++)a[i][j]=a[i][j]*inv%P;for(ll j=i+1;j<n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=i;k<n;k++)(a[j][k]+=rate*a[i][k]%P)%=P;}}return ans*f;}void solve(ll w){for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=n;j++)a[i][j]=P-1;for(ll i=1;i<=n;i++)a[i][i]=n-1;for(ll i=1;i<n;i++){a[x[i]][x[i]]+=w-1;a[y[i]][y[i]]+=w-1;a[x[i]][y[i]]=P-w;a[y[i]][x[i]]=P-w;}Guass::b[w]=det();for(ll i=1,p=1;i<=n;i++,p=p*w%P)Guass::a[w][i]=p;return;}
}
signed main(){scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<n;i++)scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);for(ll i=1;i<=n;i++)Matrix::solve(i);Guass::solve();for(ll i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",Guass::b[i]);return 0;
}