正题

题目链接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1355

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题目大意

定义$f_i$表示斐波那契的第$i$项，给出一个大小为$n$的集合$S$求$lcm(f_S)$

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解题思路

如果每个质数的次数分开考虑，那么$gcd$就是次数取$min$，$lcm$就是次数取$max$，所以可以套用$min-max$容斥的式子
$$lcm(S)=\prod _{T\subseteq S}gcd(T{)}^{(-1{)}^{|T|+1}}$$
然后因为$gcd(f_x,f_y)=f_{gcd(x,y)}$，那么这题的答案
$$lcm(f_S)=\prod _{T\subseteq S}{f}_{gcd(T)}^{(-1{)}^{|T|+1}}$$
这个好像算起来很麻烦，我们可以分开考虑每个$gcd$的贡献。
定义$f_n={\prod }_{d|n}{g}_d$
$$lcm(f_S)=\prod _{T\subseteq S}{\left(\prod _{d|gcd(T)}{g}_d\right)}^{(-1{)}^{|T|}+1}$$
$$lcm(f_S)=\prod g_d^{{\sum }_{T\subseteq S}[d|gcd(T)](-1{)}^{|T|+1}}$$
然后就是${\sum }_{T\subseteq S}[d|gcd(T)](-1{)}^{|T|+1}$，因为没有了空集，这个东西其实就相当于$[\exists a_i\in S,d|a_i]$。然后就可以直接枚举每个$d$来求答案了。
$$lcm(f_S)=\prod _{\exists a_i\in S,d|a_i}{g}_d$$

考虑$g$怎么构造，我们有$f_n={\prod }_{d|n}{g}_d$，直接移项就是$g_n=f_n-{\prod }_{d|n,d\ne n}{g}_d$就好了。

时间复杂度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,P=1e9+7;
ll n,m,g[N],ans;
bool v[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
signed main()
{scanf("%lld",&n);g[1]=ans=1;for(ll i=1;i<=n;i++){ll x;scanf("%lld",&x);m=max(m,x);v[x]=1;}for(ll i=2;i<=m;i++)g[i]=(g[i-1]+g[i-2])%P;for(ll i=1;i<=m;i++){ll inv=power(g[i],P-2);for(ll j=2*i;j<=m;j+=i)g[j]=g[j]*inv%P;}for(ll i=1;i<=m;i++){bool flag=0;for(ll j=i;j<=m;j+=i)if(v[j]){flag=1;break;}if(flag)ans=(ans*g[i])%P;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}