牛客网dp专题 数位dp

文章目录

  • 数位dp
  • 例题:
    • NC116652 uva11038 How many 0's
    • NC15035 送分了QAQ
    • NC20669 诡异数字
    • NC20665 7的意志
    • NC17385 Beautiful Numbers
    • CF55D NC108918 Beautiful numbers
  • 习题:
    • NC17867 明七暗七
    • NC19327 好朋友
    • NC19945 [CQOI2016]手机号码
    • NC20268 [SCOI2009]WINDY数
    • NC20287 [SCOI2012]BLINKER的仰慕者
    • NC20293 [SCOI2013]数数
    • NC20298 [SCOI2014]方伯伯的商场之旅
    • NC20491 [ZJOI2010]COUNT 数字计数
    • NC210885 计数问题

数位dp

例题:

NC116652 uva11038 How many 0’s

题目:输入a和b,求a到b的所有数之中有多少0出现
题解
先算个位,个位是0的情况有x种
再算十位,十位是0的情况有y种

一共是x+y+…

用数位dp做
dp[i]中存的是从0~99…9(共i个9)中0的个数(不含前导0)
dp0[i]中存放的是00…0~99…9(共i个0,i个9)中0的个数(含前导0)
dp0[i]=dp0[i-1] * 10+power * (10,i-1)
dp[i]=dp[i-1]+dp0[i-1]*9
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NC15035 送分了QAQ

每次给出一个区间[n,m],求包含38或者4的数字的个数
题解
dp[i][st]从高到低数第i为对应的情况为st的数字个数,
st=0表示没有4也没有38
st=1表示有38或者4但当前位是3
dt=2表示有4或者38
dp[i][0]=9*dp[i-1][0]-dp[i-1][1]
dp[i][1]=dp[i-1][0]
dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][1]+dp[i-1][0]
边界:dp[0][0]=1
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NC20669 诡异数字

题目:
一个区间[l,r]和多个约束,约束为数字x在数字串中连续出现的次数不能大于len,求出这个区间内满足这些约束的数字个数(不含前导0)x为0~9
题解:
dp[i][x][cnt]表示从高往低第i位的数字是x,且x已经连续出现了cnt次的合法数字个数
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代码:
模板
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int dp(int pos,int x,int num,bool flag)
{//num当前这位是什么 if(pos==0)return 1;//if(flag&&f[pos][x][num]!=-1)return f[pos][x][num];//已经算好的直接返回 int maxi=flag?9:a[pos];//当然能枚举的最多数 int ans=0;for(int i=0;i<maxi;i++){if(i==x)//如果相等 {if(num+1>limit[i])continue;//判断是否数字非法 ans=(ans+dp(pos-1,x,num+1,flag||i<maxi))%mod;//如果合法,加上继续向后dp }else ans=(ans+dp(pos-1,i,1,flag||i<maxi))%mod;//如果不相等,新的数(即不连续) } if(flag)f[pos][x][num]=ans;//更新f return ans;} 

NC20665 7的意志

题目:
定义一个序列:7,77,777,7777…7777777…
如果一个整数能被序列a中的任意一个数字整除,并且其数位之和为序列a中任意一个数字的倍数,那么这个数字就含有7的意志,给定范围[n,m]问有多少数有7的意志
1<n<m<1e18
题解:
%7,%77…=0,所以只用%7即可
dp[pos][pre][sum] 前pos位的数的和%7的余数为pre,数位和%7为sum的个数

 for(i=0-->maxi)ans+=dp(i-1.(pre*10+i)%7,(sum+i%7),flag) 

NC17385 Beautiful Numbers

F(x)为x各个位数的和
求x%F(x)==0的数的个数(最多12位)
题解:
dp[pos][x][mod][sum]表示前pos位数除以x的余数为mod,且前pos位的和为sum的数字个数
x从0~12*9枚举
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CF55D NC108918 Beautiful numbers

区间[l,r]中有多少数能够整除他自身各位数,也就等价于在区间[l,r]中有多少数能够整除他自身各位数的最小公倍数
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习题:

题目地址

NC17867 明七暗七

NC19327 好朋友

NC19945 [CQOI2016]手机号码

NC20268 [SCOI2009]WINDY数

NC20287 [SCOI2012]BLINKER的仰慕者

NC20293 [SCOI2013]数数

NC20298 [SCOI2014]方伯伯的商场之旅

NC20491 [ZJOI2010]COUNT 数字计数

NC210885 计数问题

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