正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/115/problem/3

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题目大意

两个长度为$n+1$的序列$a,b$
$a_i$表示涂了$i$个格子的可以获得的价值。
$b_i$表示恰好用$i$种颜色图最多$n$个格子可以获得的总价值。

给出序列$b$，求序列$a$

$n\in [1,10^5]$，所有运算在$\%998244353$意义下。

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解题思路

定义$c_i$表示用$i$种颜色（不需要都用）时的价值和
那么有
$$c_n=\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)b_i$$
$$c_n=n!\sum _{i=0}^n\frac{b_i}{i!}\frac{1}{(n-i)!}$$
然后$NTT$求出来。
之后就有
$$c_i=\sum _{j=0}^n{a}_j\times i^j$$
那么$c_i$可以视为一个多项式在$x=i$处的值，然后$a_i$表示该多项式的第$i$项系数。

之后要用拉格朗日插值求出这个多项式$A$（考场上不会写了个高消草）

$$A(x)=\sum _{i=1}^n{c}_i\prod _{j!=i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
提出常数来，令$c_i=c_i\times {\prod }_{j!=i}\frac{1}{x_i-x_j}$（预处理一个阶乘逆元可以$O(1)$求）
再定义多项式$M(x)={\prod }_{i=1}^n(x-x_i)$
$$A(x)=\sum _{i=1}^n\frac{c_{i}M(x)}{x-x_i}$$
但是还是不可以暴力求，但是我们可以分治求。
$$M_{l,r}(x)=\prod _{i=l}^r(x-x_i),A_{l,r}(x)=\sum _{i=l}^r\frac{c_i{M}_{l,r}(x)}{x-x_i}$$
那么有
$$M_{l,r}=M_{l,mid}\times M_{mid+1,r}$$
$$A_{l,r}=A_{l,mid}\times M_{mid+1,r}+A_{mid+1,r}\times M_{l,r}$$

都分治下去$NTT$做就好了，注意一下动态分配空间就好了。

时间复杂度$O(n{\log }^{2}n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353;
struct Poly{ll a[N],n;
}A[40],M[40],F,G;
ll n,fac[N],inv[N],c[N],r[N];
ll x[N],y[N],tmp1[N],tmp2[N];
bool v[40];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=f[i+len]*buf%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
ll mul(Poly &F,Poly &G,ll *f){for(ll i=0;i<=F.n;i++)x[i]=F.a[i];for(ll i=0;i<=G.n;i++)y[i]=G.a[i];ll l=1;while(l<=F.n+G.n+2)l<<=1;for(ll i=F.n+1;i<l;i++)x[i]=0;for(ll i=G.n+1;i<l;i++)y[i]=0;for(ll i=0;i<l;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(l>>1):0);NTT(x,l,1);NTT(y,l,1);for(ll i=0;i<l;i++)f[i]=x[i]*y[i]%P;NTT(f,l,-1);return F.n+G.n;
}
ll find_q(){for(ll i=0;i<40;i++)if(!v[i]){v[i]=1;return i;}
}
ll solve(ll l,ll r){ll p=find_q();if(l==r){A[p].a[0]=c[l];A[p].n=0;M[p].a[1]=1;M[p].a[0]=P-l;M[p].n=1;return p;}ll mid=(l+r)>>1;ll ls=solve(l,mid),rs=solve(mid+1,r);ll len=mul(A[ls],M[rs],tmp1);mul(A[rs],M[ls],tmp2);M[p].n=mul(M[ls],M[rs],M[p].a);A[p].n=len;for(ll i=0;i<=len;i++)A[p].a[i]=(tmp1[i]+tmp2[i])%P;v[ls]=v[rs]=0;return p;
}
signed main()
{
//	freopen("color.in","r",stdin);
//	freopen("color.out","w",stdout);scanf("%lld",&n);F.n=G.n=n;fac[0]=inv[0]=fac[1]=inv[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=power(fac[i],P-2);for(ll i=0;i<=n;i++){scanf("%lld",&F.a[i]);F.a[i]=F.a[i]*inv[i]%P;G.a[i]=inv[i]%P;}mul(F,G,c);for(ll i=0;i<=n;i++){c[i]=c[i]*fac[i]%P;c[i]=c[i]*inv[i]%P*inv[n-i]%P;if((n-i)&1)c[i]=P-c[i];}ll p=solve(0,n);for(ll i=0;i<=n;i++)printf("%lld ",A[p].a[i]);return 0;
}