【模板】EK求最大流、dinic求最大流

ACM模板

概念

yxc老师的部分总结

基本概念
1.1 流网络，不考虑反向边
1.2 可行流，不考虑反向边
1.2.1 两个条件：容量限制、流量守恒
1.2.2 可行流的流量指从源点流出的流量 - 流入源点的流量
1.2.3 最大流是指最大可行流
1.3 残留网络，考虑反向边，残留网络的可行流f’ + 原图的可行流f = 原题的另一个可行流
1.4 增广路径
1.5 割
1.5.1 割的定义
1.5.2 割的容量，不考虑反向边，“最小割”是指容量最小的割。
1.5.3 割的流量，考虑反向边，f(S, T) <= c(S, T)
1.5.4 对于任意可行流f，任意割[S, T]，|f| = f(S, T)
1.5.5 对于任意可行流f，任意割[S, T]，|f| <= c(S, T)
1.5.6 最大流最小割定理
(1) 流f是最大流
(2) 流f的残留网络中不存在增广路
(3) 存在某个割[S, T]，|f| = c(S, T)
1.6. 算法
1.6.1 EK O(nm^2)
1.6.2 Dinic O(n^2m)
1.7 应用
1.7.1 二分图
(1) 二分图匹配
(2) 二分图多重匹配
1.7.2 上下界网络流
(1) 无源汇上下界可行流
(2) 有源汇上下界最大流
(3) 有源汇上下界最小流
1.7.3 多源汇最大流

EK算法

链式前向星初始化-1版本 0正边 1反边
S源点 T汇点
d[]流量 pre[]前向边

存图存的是残留网络
时间复杂度： $O(nm^2)$

constexpr int N=1010,M=20010;
int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx;
int n,m;
int S,T,flow[N],pre[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c)
{e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool bfs()
{queue<int> q;memset(flow,0x3f,sizeof flow);memset(st,0,sizeof st);q.push(S);st[S]=1;while(q.size()){int u=q.front();q.pop();for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(f[i]&&!st[v]){st[v]=1;flow[v]=min(flow[u],f[i]);pre[v]=i;if(v==T) return 1;q.push(v);}}}return 0;
}
int EK()
{int ans=0;while(bfs()){ans+=flow[T];for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1]){f[pre[i]]-=flow[T];f[pre[i]^1]+=flow[T];}}return ans;
}

Dinic算法

模拟队列
时间复杂度： $O(n^2m)$

int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx;
int S,T,d[N],q[N],cur[N];
void add(int a,int b,int c)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],f[idx]=c,h[a]=idx++;e[idx]=a,ne[idx]=h[b],f[idx]=0,h[b]=idx++;
}
bool bfs()
{memset(d,-1,sizeof d);int hh=0,tt=0;d[S]=0,cur[S]=h[S],q[0]=S;while(hh<=tt){int u=q[hh++];for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(d[v]==-1&&f[i]){d[v]=d[u]+1;cur[v]=h[v];// 当前弧优化if(v==T) return 1;q[++tt]=v;}}}return 0;
}
int dfs(int u=S,int flow=0x3f3f3f3f)
{if(u==T) return flow;int rmn=flow;for(int &i=cur[u];i!=-1&&rmn;i=ne[i]){int v=e[i];if(d[v]==d[u]+1&&f[i]){int t=dfs(v,min(f[i],rmn));if(!t) d[v]=-1;// 优化f[i]-=t,f[i^1]+=t,rmn-=t;}}return flow-rmn;
}
int dinic()
{int r=0;while(bfs()) r+=dfs();return r;
}