J-Product of GCDs

Code1

对于每个质数以及每个质数的次幂单独考虑他们的贡献，由于多次使用快速幂导致TLE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
template <class T=int> T rd()
{T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg;
}int prime[10000010],cnt,is[10000010];
void initP()
{for(int i=2;i<=10000000;i++){if(!is[i]) prime[++cnt]=i;for(int j=1;prime[j]<=10000000/i;j++){is[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0) break;}}
}
int n,m;
ll P,Phi;
ll Cphi(ll v)
{ll ans=v;for(int i=1;prime[i]<=v/prime[i];i++)if(v%prime[i]==0){ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1);while(v%prime[i]==0) v/=prime[i];}if(v>1) ans=ans/v*(v-1);return ans;
}
const int N=8e4+10;
ll C[N][35];
void mod(ll &v){if(v>=Phi) v-=Phi;}
void initC()
{for(int i=0;i<=n;i++){C[i][0]=1;for(int j=1;j<=min(i,m);j++){C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1],mod(C[i][j]);}}
}
ll mul(ll a,ll b){return(__int128)a*b%P;}
ll qmi(ll a,ll b)
{ll v=1;while(b){if(b&1) v=mul(v,a);b>>=1;a=mul(a,a);}return v;
}
int a[N];
int main()
{initP();int Tc=rd();while(Tc--){n=rd(),m=rd(),P=rd<ll>(),Phi=Cphi(P);initC();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rd();ll ans=1;for(int p=1;p<=8000;p++){static int b[N];for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=0;for(int i=1;i<=n;i++) while(a[i]%prime[p]==0) a[i]/=prime[p],b[i]++;// 桶排序static int c[30];memset(c,0,sizeof c);int maxn=*max_element(b+1,b+1+n);if(maxn==0) continue;for(int i=1;i<=n;i++) c[b[i]]++;int cnt=0;for(int i=1;i<=maxn;i++) while(c[i]--) b[++cnt]=i;for(int i=1;i<=cnt;i++){ll pw=C[cnt-i][m-1];ans=mul(ans,qmi(qmi(prime[p],pw),b[i]));}}printf("%lld\n",ans);}
}

Code2

考虑分质因子统计，计算$f_{(p,c)}$表示至少包含 $p^c$ 的数个数，方案数为
$\left(\begin{array}{c}{f}_{(p,c)}\\ k\end{array}\right)$

注意需要计算得到的实际上是指数，因此我们需要对于𝜑(𝑷) 取模
（扩展）欧拉定理学习笔记

好像很多同学关心加不加phi的问题，，我发现欧拉降幂挺多题其实都没故意卡这点也就是记住对𝜑(𝑷)取模即可~

通过分解质因数暴力求𝜑(𝑷)即可，只需要预处理√𝑃 内的质数，复杂度为𝑂(√𝑃+𝑇 √𝑃/(𝑙𝑜𝑔 𝑃))
𝜑(𝑷)不是质数，但是鉴于𝑘较小，组合数直接𝑂(𝑛𝑘)递推即可（为此 𝑛 开得比较小）

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
using ll=long long;
template <class T=int> T rd()
{T res=0;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) ch=getchar();while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res;
}int prime[10000010],cnt,is[10000010];
void initP()
{for(int i=2;i<=10000000;i++){if(!is[i]) prime[++cnt]=i;for(int j=1;prime[j]<=10000000/i;j++){is[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0) break;}}
}
int n,m;
ll P,Phi;
ll Cphi(ll v)
{ll ans=v;for(int i=1;prime[i]<=v/prime[i];i++)if(v%prime[i]==0){ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1);while(v%prime[i]==0) v/=prime[i];}if(v>1) ans=ans/v*(v-1);return ans;
}
const int N=8e4+10;
ll C[N][35];
void mod(ll &v){if(v>=Phi) v-=Phi;}
void initC()
{for(int i=0;i<=n;i++){C[i][0]=1;for(int j=1;j<=min(i,m);j++){C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1],mod(C[i][j]);}}
}
ll mul(ll a,ll b){return(__int128)a*b%P;}
ll qmi(ll a,ll b)
{ll v=1;while(b){if(b&1) v=mul(v,a);b>>=1;a=mul(a,a);}return v;
}
int a[N];
int main()
{initP();int Tc=rd();while(Tc--){n=rd(),m=rd(),P=rd<ll>(),Phi=Cphi(P);initC();memset(a,0,sizeof a);for(int i=1;i<=n;i++) a[rd()]++;ll ans=1;for(int p=1;p<=8000;p++){ll res=0;for(int i=prime[p];i<N;i*=prime[p]){int c=0;for(int j=i;j<N;j+=i) c+=a[j];if(c<m) break;res+=C[c][m],mod(res);if(1ll*i*prime[p]>=N) break;}if(res) ans=mul(ans,qmi(prime[p],res));}printf("%lld\n",ans);}
}