正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2179

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题目大意

给出$E$和$n$个$s_i,k_i,u_i$求一个序列$v_i$满足
$$\sum _{i=1}^n{k}_i{s}_i(v_i-u_i{)}^2\le E$$
的情况下最小化
$$\sum _{i=1}^n\frac{s_i}{v_i}$$

$1\le n\le 10^4$

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解题思路

洛谷题解上一个十分神奇的做法看起来。（主要是看不懂拉格朗日乘数法/kk）

首先考虑对于段路的行驶时间$t_i=\frac{s_i}{v_i}$，我们可以画出消耗的能量$E$和$t_i$的函数。

对于函数$f(E)=t_i$不难发现的是在$v_i\ge u_i$的情况下$E$越小这个函数对应位置的导数越小。

也就是消耗单位能量减少的时间也就越少，性价比就越低。而我们现在要给每段路分配一个$t_i$使得消耗能量和等于$E$且$t_i$和最小的话。

根据贪心的思想有选出若干个的$t_i$满足对应位置的导数相等。

那么我们就找到了所有路的共性，考虑二分这个导数，但是我们先对这个函数$f(v)=\frac{t}{E}$求个导。

$$t^{\prime }=-\frac{s}{v_i^2},E^{\prime }=2k_i{s}_i(v_i-u_i)$$
$$f^{\prime }(v)=\frac{t^{\prime }}{E^{\prime }}=-\frac{s}{2k_i{s}_i{v}_i^2(v_i-u_i)}$$

然后我们二分出$f^{\prime }(v_i)=x$然后再二分出对应的速度$v_i$就好了。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
int n;double E,s[N],k[N],v[N];
double getv(double x,int p){double l=max(v[p],0.0),r=100000;for(int i=1;i<=100;i++){double V=(l+r)/2.0;if(-2.0*k[p]*V*V*x*(V-v[p])<1.0)l=V;else r=V;}return (l+r)/2.0;
}
double check(double x){double E=0;for(int i=1;i<=n;i++){double V=getv(x,i);E+=k[i]*s[i]*(V-v[i])*(V-v[i]);}return E;
}
int main()
{scanf("%d",&n);scanf("%lf",&E);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);double l=-1e5,r=0;for(int i=1;i<=100;i++){double mid=(l+r)/2.0;if(check(mid)<=E)l=mid;else r=mid;}double mid=(l+r)/2.0,ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans+=s[i]/getv(mid,i);printf("%.12lf\n",ans);return 0;
}