正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4983

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题目大意

给出长度为$n$的序列$x$，记平均数为$\bar{x}$，要求将序列分成$m$段。
每一段$[l,r]$的值为
$$\frac{(({\sum }_{i=l}^r{x}_i\times \bar{x})+\bar{x}{)}^2}{{\bar{x}}^2}$$

求所有段的值和最小

$1\le m\le n\le 10^5,1\le x_i\le 1000$

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解题思路

直接除以${\bar{x}}^2$就是最小化$({\sum }_{i=l}^r{x}_i+1{)}^2$的和。

然后这个问题是下凸函数，设$f(i)$表示恰好分成$i$段，那么显然段数越多答案越小而且每次减少的越少。

所以我们可以用$wqs$二分给每次分一个段加上一个权值$val$。

那么现在的转移就是
Fi=min{Fj+(si−sj+1)2+val}(j<i)F_i=min\{F_j+(s_i-s_j+1)^2+val\}(j<i)Fi​=min{Fj​+(si​−sj​+1)2+val}(j<i)

这是经典的斜率优化不过多赘述。

时间复杂度$O(n\log W)$（$W$表示二分值域）

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10;
ll n,m,s[N],f[N],g[N],x[N],y[N],q[N];
ll count(ll l,ll r)
{return f[l]+(s[r]-s[l]+1)*(s[r]-s[l]+1);}
ll xj(ll p,ll q,ll z)
{return (x[p]-x[z])*(y[q]-y[z])-(x[q]-x[z])*(y[p]-y[z]);}
ll check(ll val){int head=1,tail=0;q[++tail]=0;for(ll i=1;i<=n;i++){while(head<tail&&2ll*s[i]*(x[q[head+1]]-x[q[head]])>(y[q[head+1]]-y[q[head]]))head++;f[i]=count(q[head],i)+val;g[i]=g[q[head]]+1;y[i]=f[i]+s[i]*s[i]-2*s[i];x[i]=s[i];while(head<tail&&xj(i,q[tail],q[tail-1])>=0)tail--;q[++tail]=i;}return g[n];
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&s[i]),s[i]+=s[i-1];ll l=0,r=1e18;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(check(mid)<=m)r=mid-1;else l=mid+1;}check(l);printf("%lld\n",f[n]-l*m);return 0;
}