正题

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题目大意

给出两棵树，对于第一棵树的每一条边$(x,y)$询问有多少条在第二棵树上的边$(u,v)$与其交换（连接的序号相同）后两棵树依旧是一棵树。

$1\le n\le 2\times 10^5$

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解题思路

先只考虑一棵树的合法情况，对于第二棵树的边$(u,v)$交换过来合法的当且仅当$(x,y)$在$u\to v$路径上，同理的对于第二棵树合法当且仅当$(u,v)$在$x\to y$路径上。

那么考虑限制一个条件，第二个条件用数据结构查询。

我们把所有的$(u,v)$用树上差分挂在第一棵树的$u\to v$路径上，然后遇到一条$(u,v)$我们让这棵树的这条边权值$+1$。

这样我们就保证了处理到边$(x,y)$时有权值的只有在第一棵树上经过$(x,y)$的$u\to v$，那么至于第二个要求我们直接在第二棵树上查询$x\to y$路径上的权值和。这个可以用树链剖分维护。

而树上差分的合并功能就用线段树合并就好了。

时间复杂度：$O(n{\log }^{2}n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const int N=2e5+10,U=20;
int n,cnt,depG[N],f[N][U],rt[N],ans[N];
int siz[N],fa[N],dep[N],son[N],top[N],id[N];
vector<pair<int,int> > G[N];
vector<int> T[N],v[N];
pair<int,int> e[N];
struct SegTree{int w[N<<5],ls[N<<5],rs[N<<5];void Change(int &x,int L,int R,int pos,int val){if(!x)x=++cnt;w[x]+=val;if(L==R)return;int mid=(L+R)>>1;if(pos<=mid)Change(ls[x],L,mid,pos,val);else Change(rs[x],mid+1,R,pos,val);}int Ask(int x,int L,int R,int l,int r){if(!x)return 0;if(L==l&&R==r)return w[x];int mid=(L+R)>>1;if(r<=mid)return Ask(ls[x],L,mid,l,r);if(l>mid)return Ask(rs[x],mid+1,R,l,r);return Ask(ls[x],L,mid,l,mid)+Ask(rs[x],mid+1,R,mid+1,r);}int Merge(int x,int y,int L,int R){if(!x||!y)return x|y;w[x]+=w[y];if(L==R)return x;int mid=(L+R)>>1;ls[x]=Merge(ls[x],ls[y],L,mid);rs[x]=Merge(rs[x],rs[y],mid+1,R);return x;}
}S;
void preset(int x,int fa){f[x][0]=fa;depG[x]=depG[fa]+1;for(int i=0;i<G[x].size();i++){int y=G[x][i].first;if(y==fa)continue;preset(y,x);}return;
}
int LCA(int x,int y){if(depG[x]<depG[y])swap(x,y);for(int i=U-1;i>=0;i--)if(depG[f[x][i]]>=depG[y])x=f[x][i];if(x==y)return x;for(int i=U-1;i>=0;i--)if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];return f[x][0];
}
void dfs1(int x){dep[x]=dep[fa[x]]+1;siz[x]=1;for(int i=0;i<T[x].size();i++){int y=T[x][i];if(y==fa[x])continue;fa[y]=x;dfs1(y);siz[x]+=siz[y];if(siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;}return;
}
void dfs2(int x){id[x]=++cnt;if(son[x]){top[son[x]]=top[x];dfs2(son[x]);}for(int i=0;i<T[x].size();i++){int y=T[x][i];if(y==fa[x]||y==son[x])continue;top[y]=y;dfs2(y);}return;
}
int GetAns(int x,int y,int rt){int ans=0;while(top[x]!=top[y]){if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);ans+=S.Ask(rt,1,n,id[top[x]],id[x]);x=fa[top[x]];}if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);if(x!=y)ans+=S.Ask(rt,1,n,id[x]+1,id[y]);return ans;
}
void solve(int x,int fa,int ids){for(int i=0;i<G[x].size();i++){int y=G[x][i].first,id=G[x][i].second;if(y==fa)continue;solve(y,x,id);rt[x]=S.Merge(rt[x],rt[y],1,n);}if(ids){for(int i=0;i<v[x].size();i++){int p=abs(v[x][i]);int X=e[p].first,Y=e[p].second;if(dep[X]>dep[Y])swap(X,Y);S.Change(rt[x],1,n,id[Y],(v[x][i]>0)?1:-2);}ans[ids]=GetAns(fa,x,rt[x]);}return;
}
int main()
{freopen("exchange.in","r",stdin);freopen("exchange.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=1;i<n;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x].push_back(mp(y,i));G[y].push_back(mp(x,i));}for(int i=1;i<n;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);T[x].push_back(y);T[y].push_back(x);e[i]=mp(x,y);}preset(1,0);for(int j=1;j<U;j++)for(int i=1;i<=n;i++)f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];for(int i=1;i<n;i++){int x=e[i].first,y=e[i].second,lca=LCA(x,y);v[x].push_back(i);v[y].push_back(i);v[lca].push_back(-i);}dfs1(1);top[1]=1;dfs2(1);solve(1,0,0);for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",ans[i]);return 0;
}