正题

题目链接:https://loj.ac/p/6405

---

题目大意

给出$n$个点的一棵树，每个点有$x_i$个军队，需要$y_i$个军队，你可以移动军队，求使得满足所有点要求的情况下，军队移动路径和的最小值。

$1\le n\le 250000$，军队总数和不超过$10^6$。

---

解题思路

一看就是费用流，但是数据范围很大所有是模拟费用流。

那么考虑贪心，因为我们要贪心所以我们很难强制满流，那么我们就定义一个流量会额外带上一个$-\infty$的权值，然后最后答案加上$\infty \times c$就好了。

那么考虑一个流量从$x$流到$y$，费用是$de{p}_x+de{p}_y-de{p}_{lca}\times 2-\infty$，如果一个是需要军队的，那么定义$va{l}_x=de{p}_x-\infty$，否则$va{l}_x=de{p}_x$。

那么就可以视费用为$va{l}_x+va{l}_y-de{p}_{lca}\times 2$，那么这些答案我们就可以在$lca$处维护了，设它们的$lca$为$z$。

考虑用可并堆储存子树内的$va{l}_x$和$va{l}_y$，然后每次取出最小的直到$va{l}_x+va{l}_y-de{p}_z\times 2\ge 0$为止，但是我们还需要一个退流的操作，也就是可撤回的过程。这个过程我们的权值是相反的，定义新的$va{l}_x^{\prime }=2\times de{p}_z-va{l}_y$，同理$va{l}_y^{\prime }=2\times de{p}_z-va{l}_x$就好了。

时间复杂度：$O(n\log n)$

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=3e6+10,inf=1e12;
struct Heap{ll cnt,w[N],t[N][2],dis[N];ll Merge(ll x,ll y){if(!x||!y)return x|y;if(w[x]>w[y])swap(x,y);t[x][1]=Merge(t[x][1],y);if(dis[t[x][0]]<dis[t[x][1]])swap(t[x][0],t[x][1]);dis[x]=dis[t[x][1]]+1;return x;}ll Delete(ll x){return Merge(t[x][0],t[x][1]);}void Ins(ll &x,ll val){++cnt;w[cnt]=val;x=Merge(x,cnt);}
}T1,T2;
struct node{ll to,next,w;
}a[N<<1];
ll n,tot,ans,ls[N],rt1[N],rt2[N],dep[N],c[N];
void addl(ll x,ll y,ll w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;return;
}
void dfs(ll x,ll fa){if(c[x]<0){for(int i=0;i<-c[x];i++)T1.Ins(rt1[x],dep[x]-inf);}if(c[x]>0){for(int i=0;i<c[x];i++)T2.Ins(rt2[x],dep[x]);}for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;dep[y]=dep[x]+a[i].w;dfs(y,x);rt1[x]=T1.Merge(rt1[x],rt1[y]);rt2[x]=T2.Merge(rt2[x],rt2[y]);}while(rt1[x]&&rt2[x]){ll X=rt1[x];rt1[x]=T1.Delete(rt1[x]);T1.t[X][0]=T1.t[X][1]=0;ll Y=rt2[x];rt2[x]=T2.Delete(rt2[x]);T2.t[Y][0]=T2.t[Y][1]=0;if(T1.w[X]+T2.w[Y]-2*dep[x]<0){ll A=T1.w[X],B=T2.w[Y];ans+=A+B-2*dep[x];T1.w[X]=2*dep[x]-B;rt1[x]=T1.Merge(rt1[x],X);T2.w[Y]=2*dep[x]-A;rt2[x]=T2.Merge(rt2[x],Y);}else{rt1[x]=T1.Merge(rt1[x],X);rt2[x]=T2.Merge(rt2[x],Y);break;}}return;
}
signed main()
{scanf("%lld",&n);for(ll i=1,x,y,w;i<n;i++){scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&w);addl(x,y,w);addl(y,x,w);}for(ll i=1;i<=n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);c[i]=x-y;if(c[i]<0)ans+=-c[i]*inf;}dfs(1,0);printf("%lld\n",ans);return 0;
}