正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2339

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题目大意

给出$n$个点$m$条边的一张无向图，然后有一张$n\times n$的图，每个点是一个二元组$(a,b)$。$(a,b)$和$(c,d)$连边当且仅当$a$和$c$有连边，$b$和$d$有连边。

求新图的连通块数量

$1\le n\le 10^5,1\le m\le 2\times 10^5$

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解题思路

计数问题，我们考虑固定一个基准，以原图中的连通块为基准。

对于一个点$(x,y)$，它能走到的点，发现如果$x$和$y$所在的连通块都可以黑白染色，那么$x$和$y$的黑白顺序是固定的，否则无论如何$x$整个都可以变为整个连通块或者$y$可以变为整个连通块。

然后这样一些会发现样例都过不了，因为有一种很特殊的点，就是没有任何边连接的点，这一部分的点我们需要特判。

记大小不是$1$的连通块数为$A$，其中能奇偶染色的为$B$，大小为$1$的连通块数为$C$，那么答案就是：
$$A\times A+B\times B+C\times n\times 2-C\times C$$

时间复杂度：$O(n+m)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10;
struct node{ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,m,tot,siz,A,B,C,ls[N],v[N];
bool flag;
void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll c){if(v[x]==(c^1))flag=1;if(v[x]>=0)return;v[x]=c;siz++;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next)dfs(a[i].to,c^1);return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1,x,y;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}memset(v,-1,sizeof(v));for(ll i=1;i<=n;i++)if(v[i]<0){flag=siz=0;dfs(i,0);if(siz==1)C++;else A++,B+=!flag;}printf("%lld\n",1ll*A*A+1ll*B*B+2ll*C*n-C*C);return 0;
}