正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4439

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题目大意

给出$1\sim n$的排列$a$。求一个字典序最小的$01$串$s$满足将$0$对应位置按顺序取出成为序列$A$，剩下的成为序列$B$。

要求$A$和$B$的前缀最大值个数相同。

$1\le n\le 2\times 10^5$

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解题思路

首先对于前缀最大值来说，在排列$a$中的前缀最大值肯定在$A/B$中也是前缀最大值。

而假设我们序列$A$和$B$中都存在一个前缀最大值是在$a$中没有出现过的，那么显然这两个值前面比它大的值都在另一个序列中，所以我们交换这两个值时$A/B$的前缀最大值个数都减少了$1$。

所以如果存在一组解$A/B$中存在一个序列的所有前缀最大值都是$a$中原来的最大值。

那么接着考虑，假设我们做到一个状态：$A/B$中目前最大值个数为$n_a/n_b$，后面还有$c$个原来$a$序列中的最大值，$B$需要用$k$个，剩下$p$个都是新的最大值，那么如果有解就有等式
$$n_a+c-k=n_b+k+p\Rightarrow n_a-n_b+c=2k+p$$
而左边的式子是定值，所以我们只需要考虑右边式子的取值范围。

然后对于序列$B$，目前最后一个数是$m_b$，设旧最大值数权为$2$，其他数的权值$1$。我们就需要考虑后面是否存在一个$m_b$开始的上升序列的权值和为$n_a-n_b+c$。

而因为权值只有$1$和$2$，所以我们用数据结构维护一下奇偶的最大答案即可。

由于他要求字典序最小，我们无法确定$A$是全是旧的最大值还是$B$全是旧的最大值，所以我们两种情况都需要判断。

时间复杂度：$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,s,a[N],od[N],ans[N],f[N][2]; 
struct SegTree{int w[N<<2];void Change(int x,int L,int R,int pos,int val){if(L==R){w[x]=val;return;}int mid=(L+R)>>1;if(pos<=mid)Change(x*2,L,mid,pos,val);else Change(x*2+1,mid+1,R,pos,val);w[x]=max(w[x*2],w[x*2+1]);}int Ask(int x,int L,int R,int l,int r){l=max(l,L);r=min(r,R);if(l>r)return w[0];if(L==l&&R==r)return w[x];int mid=(L+R)>>1;if(r<=mid)return Ask(x*2,L,mid,l,r);if(l>mid)return Ask(x*2+1,mid+1,R,l,r);return max(Ask(x*2,L,mid,l,mid),Ask(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r));}
}T[2];
bool check(int p,int x){if(x<0)return 0;return T[x&1].Ask(1,1,n,p,n)>=x;
}
int main()
{scanf("%d",&n);int maxs=0;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);if(a[i]>maxs)od[i]=1,s++,maxs=a[i]; }memset(T[1].w,0xcf,sizeof(T[1].w));for(int i=n;i>=1;i--){int p=!od[i];for(int j=0;j<2;j++){f[i][j]=T[j^p].Ask(1,1,n,a[i]+1,n)+1+od[i];T[j].Change(1,1,n,a[i],f[i][j]);}}int A=0,B=0,ma=0,mb=0;for(int i=1;i<=n;i++){s-=od[i];T[0].Change(1,1,n,a[i],T[0].w[0]);T[1].Change(1,1,n,a[i],T[1].w[0]);if(check(max(ma,a[i]),B+s-A-(a[i]>ma))||check(mb,A+s-B+(a[i]>ma)))ans[i]=0,A+=(a[i]>ma),ma=max(ma,a[i]);else ans[i]=1,B+=(a[i]>mb),mb=max(mb,a[i]);}if(A!=B)return puts("-1")&0;for(int i=1;i<=n;i++)putchar(ans[i]+'0');return 0;
}