正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7739

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题目描述

懒得概括，摸了。

Yelekastee 是 U 国著名的考古学家。在最近的一次考古行动中，他发掘出了一个远古时期的密码箱。经过周密而严谨的考证，Yelekastee 得知密码箱的密码和某一个数列 {an}\{ a_n \}{an​} 相关。数列 {an}\{ a_n \}{an​} 可以用如下方式构造出来：

1. 初始时数列长度为 $2$ 且有 $a_0=0,a_1=1$；
2. 对数列依次进行若干次操作，其中每次操作是以下两种类型之一：

• W 类型：给数列的最后一项加 $1$。
• E 类型：若数列的最后一项为 $1$，则给倒数第二项加 $1$；否则先给数列的最后一项减 $1$，接着在数列尾再加两项，两项的值都是 $1$。

受到技术限制，密码箱并没有办法完整检查整个数列，因此密码箱的密码设定为数列 {an}\{ a_n \}{an​} 经过函数 $f$ 作用后的值，其中 $f$ 的定义如下：

$$f(a_0,\dots ,a_{k-1},a_k)=\{\begin{array}{ll}{a}_0,& amp;k=0\\ f\left(a_0,a_1,\dots ,a_{k-2},a_{k-1}+\frac{1}{a_k}\right),& amp;k\ge 1\end{array}$$

Yelekastee 并不擅长运算，因此他找到了你，希望你能根据他提供的操作序列计算出密码箱的密码。不幸的是，他的记性并不是很好，因此他会随时对提供的操作序列做出一些修改，这些修改包括以下三种：

• APPEND c，在现有操作序列后追加一次 c 类型操作，其中 c 为字符 W 或 E。
• FLIP l r，反转现有操作序列中第 $l$ 个至第 $r$ 个（下标从 $1$ 开始，修改包含端点 $l$ 和 $r$，下同）操作，即所有 W 变为 E，所有 E 变为 W。
• REVERSE l r，翻转现有操作序列中第 $l$ 个至第 $r$ 个操作，也就是将这个区间中的操作逆序。

$1\le n,q\le 10^5$

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解题思路

先考虑知道$a$序列怎么求答案，假设上一个传下来的是$\frac{x}{y}$，那么新的那个就是$\frac{x^{\prime }}{y^{\prime }}=a_k+\frac{x}{y}=\frac{y{a}_k+x}{x}$，那么有$x^{\prime }=y{a}_k+x,y^{\prime }=x$。

显然如果我们只是动态修改每一个$a$，那么上面这个转移可以用矩阵乘法维护。

但是我们现在的操作可能是让一些数$+1$和在数列后面$+1$。麻烦的是让一些数$+1$这个操作，我们考虑如果我们在末尾加入了一个$1$，那么转移$x^{\prime }=x+y,y^{\prime }=x$，如果让末尾的一个数加$1$，那么$x^{\prime }=x+y,y^{\prime }=y$。这样就可以直接考虑矩阵维护$EW$操作了，我们分别设上面两个操作的矩阵为$H_A,H_B$，我们求出一个$G_A\times H_A=1,G_B\times H_B=1$这样就可以取消掉前面的一些操作了。

然后考虑一下下面的操作怎么实现，设目前的矩阵乘积为$M$：

1. 让末尾$+1$：$M^{\prime }=H_A\times H_B\times G_A\times M$
2. 让倒数第二个$+1$：注意到此时最后一个数字肯定是$1$，所以$M^{\prime }=H_A\times H_A\times H_B\times G_A\times G_A\times M$
3. 让最后一个数$-1$，然后在末尾加入两个$1$：$M^{\prime }=H_A\times H_A\times H_A\times G_B\times G_A\times M$

然后我们会愉快的发现后两个和$E$有关的操作有$H_A\times H_A\times H_B\times G_A\times G_A=H_A\times H_A\times H_A\times G_B\times G_A$。

也就是其实$E$两种情况的操作乘上的都是同一个矩阵，那么用Splay维护即可，区间翻转和区间取反操作可以直接维护四个值，表示是否取反/翻转后的矩阵就行了。

至于输出$x\%P,y\%P$的$gcd(x,y)$为$1$的要求我们不用担心，因为上面的操作中$x,y$的$gcd$都是不会变的（因为$gcd(x+y,x)=gcd(x,y)$），所以无论怎样操作$x,y$都是互质的。

时间复杂度：$O((n+q)\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
const int N=2e5+10,S=2,P=998244353;
int read(){int x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
void print(int x)
{if(x>9)print(x/10);putchar('0'+x%10);}
struct Matrix{int a[S][S];
}Ha,Hb,Ga,Gb,HA,HB,HC,O,c;
void add(int &x,int y)
{x=(x+y>=P)?(x+y-P):(x+y);}
Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b){memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(int i=0;i<S;i++)for(int j=0;j<S;j++)for(int k=0;k<S;k++)add(c.a[i][j],1ll*a.a[i][k]*b.a[k][j]%P);return c;
}
struct node{Matrix M,N;void flp(){swap(M,N);return;}
}W,E,tmp;
int n,q,cnt,root;
char s[N];
struct PeTree{node w[N],v[N],a[N];int t[N][2],fa[N],siz[N];bool r[N],u[N];void PushUp(int x){w[x]=v[x]=a[x];if(t[x][1]){w[x].M=w[t[x][1]].M*w[x].M;v[x].M=v[x].M*v[t[x][1]].M;w[x].N=w[t[x][1]].N*w[x].N;v[x].N=v[x].N*v[t[x][1]].N;}if(t[x][0]){w[x].M=w[x].M*w[t[x][0]].M;v[x].M=v[t[x][0]].M*v[x].M;w[x].N=w[x].N*w[t[x][0]].N;v[x].N=v[t[x][0]].N*v[x].N;}siz[x]=siz[t[x][0]]+siz[t[x][1]]+1;return;}void PushR(int x){swap(t[x][0],t[x][1]);swap(w[x],v[x]);r[x]^=1;return;}void PushU(int x){w[x].flp();v[x].flp();a[x].flp();u[x]^=1;return;}void PushDown(int x){if(r[x])PushR(t[x][0]),PushR(t[x][1]),r[x]=0;if(u[x])PushU(t[x][0]),PushU(t[x][1]),u[x]=0;return;}bool Direct(int x){return t[fa[x]][1]==x;}void Rotate(int x){int y=fa[x],z=fa[y];int xs=Direct(x),ys=Direct(y);int w=t[x][xs^1];if(z)t[z][ys]=x;t[x][xs^1]=y;t[y][xs]=w;if(w)fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;PushUp(y);PushUp(x);return;}void Downdata(int x,int f){if(x==f)return;Downdata(fa[x],f);PushDown(x);return;} void Splay(int x,int f){if(!f)root=x;Downdata(x,f);while(fa[x]!=f){int y=fa[x];if(fa[y]==f)Rotate(x);else if(Direct(x)==Direct(y))Rotate(y),Rotate(x);else Rotate(x),Rotate(x);}return;}int Find(int val,int x=root){PushDown(x);if(siz[t[x][0]]>=val)return Find(val,t[x][0]);if(siz[t[x][0]]+1==val)return x;return Find(val-siz[t[x][0]]-1,t[x][1]);}
}T;
int power(int x,int b){int ans=1;while(b){if(b&1)ans=1ll*ans*x%P;x=1ll*x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void Query(){T.Splay(1,0);T.Splay(n+2,1);Matrix ans=T.w[T.t[n+2][0]].M;int a=ans.a[0][0];int b=ans.a[0][1];swap(a,b);a+=b;a=(a%P+P)%P;b=(b+P)%P;print(b);putchar(' ');print(a);putchar('\n');
}
signed main()
{n=read();q=read();O.a[0][0]=1;O.a[1][0]=0;O.a[1][0]=0;O.a[1][1]=1;Ha.a[0][0]=1;Ha.a[1][0]=1;Ha.a[0][1]=0;Ha.a[1][1]=1;Ga.a[0][0]=1;Ga.a[1][0]=P-1;Ga.a[0][1]=0;Ga.a[1][1]=1;Hb.a[0][0]=1;Hb.a[1][0]=1;Hb.a[0][1]=1;Hb.a[1][1]=0;Gb.a[0][0]=0;Gb.a[1][0]=1;Gb.a[0][1]=1;Gb.a[1][1]=P-1;HA=Hb*Ha*Gb;HB=Hb*Hb*Ha*Gb*Gb;HC=Hb*Hb*Hb*Ga*Gb;W=(node){HA,HB};E=(node){HB,HA};scanf("%s",s+1);cnt=n+2;T.t[1][1]=2;T.fa[n+2]=n+1;for(int i=2;i<=n+1;i++){if(s[i-1]=='W')T.a[i]=W;else T.a[i]=E;T.t[i][1]=i+1;T.fa[i]=i-1;}for(int i=n+2;i>=1;i--)T.PushUp(i);Query();int m=n;while(q--){char op[10];scanf("%s",op);if(op[0]=='A'){scanf("%s",op);++cnt;if(op[0]=='W')T.a[cnt]=W;else T.a[cnt]=E;int p=T.Find(m+1);T.Splay(p,0);p=n+2;T.fa[cnt]=p;T.t[p][0]=cnt;T.PushUp(cnt);T.PushUp(p);++m;}else if(op[0]=='F'){int l=read(),r=read();l=T.Find(l);r=T.Find(r+2);T.Splay(l,0);T.Splay(r,l);T.PushU(T.t[r][0]);T.Splay(T.t[r][0],0);}else if(op[0]=='R'){int l=read(),r=read();l=T.Find(l);r=T.Find(r+2);T.Splay(l,0);T.Splay(r,l);T.PushR(T.t[r][0]);T.Splay(T.t[r][0],0);}Query();}return 0;
}