正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1140G

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题目大意

给出一个$n$个点的树$T$，然后复制一份$T^{\prime }$，每个$T$中的点$i$向$T^{\prime }$中的点$i$都有连边构成一张图。

图上所有权值各不相同，现在$q$次询问图上两点的最短路。

$1\le n\le 3\times 10^5,1\le q\le 6\times 10^5$

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解题思路

因为树上两点简单路径唯一，所以$x$到$y$之间的最短路肯定是包括两棵树中$x\sim y$路径上的某些点的。

现在问题就是从$x$到$x^{\prime }$的切换问题，我们直接用最短路求出每个$x$到$x^{\prime }$的最短距离，因为这样的距离肯定是在树上找一条点$y$，$x$走到点$y$再从$y^{\prime }$走回$x^{\prime }$。

然后设$f_{i,j,p,q}$表示从点$i$出发往上跳了$2^j$步且原来在第$p$棵树上，现在在第$k$棵树上的方案。发现这个转移可以用矩阵乘法来优化。

然后求答案的时候找$LCA$的时候合并$f$矩阵就好了。

时间复杂度：$O((n+q)\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const ll N=3e5+10,T=21,S=2;
struct edge{ll to,next,u,v;
}a[N<<1];
struct node{ll a[S][S];
}c,one,G[N][T];
ll n,Q,tot,ls[N],f[N],dep[N],g[N][T];
bool v[N];
priority_queue<pair<ll,ll> > q;
node operator*(const node &a,const node &b){memset(c.a,0x3f,sizeof(c.a));for(ll i=0;i<S;i++)for(ll j=0;j<S;j++)for(ll k=0;k<S;k++)c.a[i][j]=min(c.a[i][j],a.a[i][k]+b.a[k][j]);return c;
}
void addl(ll x,ll y,ll u,ll v){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].u=u;a[tot].v=v;return;
}
void dij(){for(ll i=1;i<=n;i++)q.push(mp(-f[i],i));while(!q.empty()){ll x=q.top().second;q.pop();if(v[x])continue;v[x]=1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(f[x]+a[i].u+a[i].v<f[y]){f[y]=f[x]+a[i].u+a[i].v;q.push(mp(-f[y],y));}}}return;
}
void dfs(ll x,ll fa){dep[x]=dep[fa]+1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);g[y][0]=x;G[y][0].a[0][0]=min(a[i].u,f[x]+f[y]+a[i].v);G[y][0].a[1][1]=min(a[i].v,f[x]+f[y]+a[i].u);G[y][0].a[0][1]=min(a[i].u+f[x],a[i].v+f[y]);G[y][0].a[1][0]=min(a[i].v+f[x],a[i].u+f[y]);}return;
}
node Ask(ll x,ll y){node X=one,Y=one;bool flag=0;if(x==y){X.a[0][0]=X.a[1][1]=0;X.a[0][1]=X.a[1][0]=f[x];return X;}if(dep[x]<dep[y])swap(x,y),flag=1;for(ll i=T-1;i>=0;i--)if(dep[g[x][i]]>=dep[y])X=X*G[x][i],x=g[x][i];if(x==y){if(flag)swap(X.a[0][1],X.a[1][0]);return X;}for(ll i=T-1;i>=0;i--)if(g[x][i]!=g[y][i])X=X*G[x][i],x=g[x][i],Y=Y*G[y][i],y=g[y][i];X=X*G[x][0];Y=Y*G[y][0];swap(Y.a[0][1],Y.a[1][0]);X=X*Y;if(flag)swap(X.a[0][1],X.a[1][0]);return X;
}
signed main()
{memset(one.a,0x3f,sizeof(one.a));one.a[0][0]=one.a[1][1]=0;scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&f[i]);for(ll i=1,x,y,u,v;i<n;i++){scanf("%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&u,&v);addl(x,y,u,v);addl(y,x,u,v);}dij();dfs(1,0);for(ll j=1;j<T;j++)for(ll i=1;i<=n;i++){g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1];G[i][j]=G[i][j-1]*G[g[i][j-1]][j-1];}scanf("%lld",&Q);while(Q--){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);node tmp=Ask((x+1)/2,(y+1)/2);printf("%lld\n",tmp.a[!(x&1)][!(y&1)]);}return 0;
}