前言

OI生涯目前为止学习的最为难以理解的算法，没有之一。
到现在也没有完全的理解。
qwq

概念

定义：

后缀 $i$ ：字符串 $s$ 以 $i$ 结尾的后缀（前缀同理）
$e n d p o s (x)$ 字符串 $x$ 在 $s$ 中出现的结尾位置的集合
等价类：若 $e n d p o s (u) = e n d p o s (v)$ ，我们就称 $u$ 和 $v$ 属于同一个等价类

不难发现，对于 $s$ 的一个子串 $x=s_{l...r}$ ，都存在一个位置 $p∈(l,r]p\in (l,r]$ ，满足对于 $l≤i≤pl\le i\le p$ ， $x$ 的后缀 $i$ 都与 $x$ 属于同一个等价类，而对于 $p<i≤rp<i\le r$ ，后缀 $i$ 与 $x$ 都不属于一个等价类。
我们称满足这个性质的 $p$ 为 $l i n k (x)$ 。

SAM是一个字符转移边组成的DAG，每条从根结点出发的路径都唯一对应 $s$ 的一个子串，在SAM中，每个结点都对应着一个等价类的集合（也就是从根结点到该结点的路径所代表的字符串的集合，这些字符串必然由一个最长的字符串和它的一些连续的后缀组成），一个结点的 $l i n k$ 定义为该结点对应的最长字符串的 $l i n k$ 。

请务必确保你理解了上面这段话

构建

现在考虑如何构建出SAM
使用增量法，当前加入一个新的字符串 $c$
设上一个加入的结点为 $l s t$ ，当前加入结点为 $c u r$
设一个结点代表的最长字符串的长度为 $l e n$

首先，令 $len(cur)←len(lst)+1len(cur)\gets len(lst)+1$
然后从 $l s t$ 沿着 $l i n k$ 不断往上跳，直到跳到某个有 $c$ 的转移边或者跳到根为止，沿途把 $c$ 的转移边全部赋值成 $c u r$

situation 1

若到根了还没有 $c$ 的转移边：说明整个字符串还没有出现过 $c$ ，直接把 $l i n k (c u r)$ 赋值成根即可

否则，设跳到了结点 $p$ ， $p$ 的 $c$ 转移边为 $q$
由于一直跳的是

situation 2

若 $l e n (q) = l e n (p) + 1$ ：这两个结点在原串上就是相邻的，直接令 $l i n k (c u r) = l i n k (q)$ 即可

situation 3

若 $len(q)≠len(p)+1len(q)\ne len(p)+1$ ：这两个结点在原串上不是相邻的，此时若按照情况2的处理方法，会使SAM上出现不应该出现的前缀，所以我们应该分裂出一个结点 $p p$ ，继承所有 $q$ 的信息， $len(pp)←len(p)+1len(pp)\gets len(p)+1$ ，并把 $q$ 和 $c u r$ 的 $l i n k$ 全指向 $p p$ ，再一路往上把本来连向 $q$ 的转移连向 $p p$

代码

void ins(int c){c-='a';int cur=++tot,p=lst;lst=tot;st[cur].len=st[p].len+1;siz[cur]=1;for(;p&&!st[p].tr[c];p=st[p].fa) st[p].tr[c]=cur;if(!st[p].tr[c]) st[cur].fa=1;else{int q=st[p].tr[c];if(st[q].len==st[p].len+1) st[cur].fa=q;else{int pp=++tot;st[pp]=st[q];st[pp].len=st[p].len+1;st[q].fa=st[cur].fa=pp;for(;p&&st[p].tr[c]==q;p=st[p].fa) st[p].tr[c]=pp;return;}}
}

应用

求 endpos 集合大小

定义 $siz_x$ 为结点 $x$ 的等价类集合中 $e n d p o s$ 的数目。（也就是出现次数）
那么根据定义，有：
$sizx=∑s∈sonxsizs+[x∈S]siz_x=\sum_{s\in son_x} siz_s+[x\in S]$
其中 $S$ 是每次插入的终点集合
dfs或者拓扑实现均可

int cnt[N],id[N];
void calc(){for(int i=1;i<=tot;i++) ++cnt[st[i].len];for(int i=1;i<=n;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];for(int i=tot;i>=1;i--) id[cnt[st[i].len]--]=i;for(int i=tot;i>=1;i--) siz[st[id[i]].fa]+=siz[id[i]];return;
}

求本质不同子串数

就是在自动机上的走法种类呗。
那么就有：
$sumx=∑s=trx,csums+1sum_x=\sum_{s=tr_{x,c}}sum_s+1$

Thanks for reading!

后缀树

本身也是一个大算法，但是可以通过反串建SAM偷懒。
复杂度为 $O (n C)$ 。

解析

对反串建出后缀自动机，其 $f a i l$ 树即为所求的后缀树。
设 $pl_x$ ，为 $x$ 节点对应的任意一个出现位置，那么 $failx→xfail_x\to x$ 这条边上对应的字符串就是 $s(pl_x+len_{fail_x},pl_x+len_x-1)$ 。
结合 $f a i l$ 的定义应该不难得到。