cf1553F. Pairwise Modulo

题意：

给你一个数组a，a由n个不同的数组成,让你求出对应的数组p
数组p的定义为：
$p_k={\sum }_{1\le i,j\le k}{a}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_j$

题解：

官方题解
首先我们需要拜托mod操作，一个常用公式：
$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}y=x-y\ast \lfloor \frac{x}{y}\rfloor$
直接求p比较麻烦，我们规定i，j一个先后顺序，我们将$p_k$分成$s_k$和$t_k$两个部分
$s_k={\sum }_{1\le i,j\le k,i>j}{a}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_j$
$t_k={\sum }_{1\le i,j\le k,i<j}{a}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_j$
也就是$s_k$求的是编号大的数mod编号小的数的和，$t_k$则正好相反。
怎么求$s_k$?
$s_k=s_{k-1}+{\sum }_{i=1}^{k-1}{a}_k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_i=s_{k-1}+{\sum }_{i=1}^{k-1}(a_k-a_i\ast \lfloor \frac{a_k}{a_i}\rfloor )$
我们将$a_k$提出来会得到：
$s_k=s_{k-1}+a_k\ast (k-1)-{\sum }_{i=1}^{k-1}(a_i\ast \lfloor \frac{a_k}{a_i}\rfloor )$
现在问题就是${\sum }_{i=1}^{k-1}(a_i\ast \lfloor \frac{a_k}{a_i}\rfloor )$咋求
我们现在开始确定$a_i$,然后看其对所有$s_k$,k>i的贡献

1. 对于所有的$a_k$在$[a_i,2\ast a_i)$贡献是$-a_i$
2. 对于所有的$a_k$在$[2\ast a_i,3\ast a_i)$贡献是$-2\ast a_i$
3. …
4. 对于所有的$a_k$在$[d\ast a_i,(d+1)\ast a_i)$贡献是$-d\ast a_i$

这意味着可以强制所有合法的d并执行类似这样的更新：将x添加到范围[l,r]中的所有数字。这可以用线段树或树状数组
$t_k$的求法也超不多，但是有区别

时间复杂度：
M最大是3e5,每一次加一数进去会进行$\frac{M}{a_i}$次修改，而$a_i$各不相同，所以$\frac{M}{1}+...+\frac{M}{n}=O(logn)$
所以有O(M logn)更新操作，每次更新是O(log M)，总复杂度为O(M log M log n)
代码中我维护了两个树状数组A和B

代码：

// Problem: F. Pairwise Modulo
// Contest: Codeforces - Harbour.Space Scholarship Contest 2021-2022 (open for everyone, rated, Div. 1 + Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1553/problem/F
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 4000 ms
// Data:2021-08-10 16:23:05#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#define debug(a, b) printf("%s = %d\n", a, b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
clock_t startTime, endTime;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll= 1e18;
const int INF_int= 0x3f3f3f3f;
template <typename T> inline void read(T& x)
{T f= 1;x= 0;char ch= getchar();while (0 == isdigit(ch)) {if (ch == '-')f= -1;ch= getchar();}while (0 != isdigit(ch))x= (x << 1) + (x << 3) + ch - '0', ch= getchar();x*= f;
}
template <typename T> inline void write(T x)
{if (x < 0) {x= ~(x - 1);putchar('-');}if (x > 9)write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}
void rd_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#elsestartTime= clock();freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
}
void Time_test()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#elseendTime= clock();printf("\nRun Time:%lfs\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
}
const int maxn= 3e5 + 9;
const int M= 3e5;
struct Fenw
{ll w[maxn];Fenw(){fill(w + 1, w + maxn, 0ll);}ll lowbit(ll x){return x & (-x);}void update(int pos, ll x){for (; pos <= M; pos+= lowbit(pos)) {w[pos]+= x;}}ll get(int pos){ll res= 0;for (; pos > 0; pos-= lowbit(pos)) {res+= w[pos];}return res;}ll get(int l, int r){return get(r) - get(l - 1);}
} A, B;
void solve()
{int n;cin >> n;//A维护的是ak对[k+1,n]，B维护的是区间[1,k-1]对ak的贡献ll pre= 0, ans= 0;//debug("测试", 1);for (int i= 1; i <= n; i++) {int x;cin >> x;ans+= x * (i - 1ll); //加的skans-= A.get(x); //s_2ans+= pre; //加的tkpre+= x;//debug("测试", 1);for (int j= x; j <= M; j+= x) {int l= j, r= min(M, j + x - 1); //枚举每个区间ans-= B.get(l, r) * j; //t_2A.update(l, x);//在l位置上加x}B.update(x, 1);printf("%lld ", ans);}printf("\n");
}
int main()
{//rd_test();solve();return 0;//Time_test();
}