problem

luogu-P4542

solution

刚开始就直观感觉 $dp$ 不动，却有个看似“理所当然”的贪心：每次跑 $k$ 个人所在点到扩展据点的最短距离，然后让最近的人去破环那个据点。

啪啪敲完后小样例（实在太水）就过了，然后大样例就$\dots$爆炸了。

再然后就可以随便手玩很小的情况都可以 $\text{hack}$ 掉这个贪心。

fine贪心也不行

当你发现贪心贪不动，$dpp$ 不动，你再看数据范围可以接受 $2/3$ 次方，$n,m$ 小的离谱却又比状压大，你不妨再看看我们可爱的网络流。

我一直把网络流当成智能化的贪心。

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好，现在我们已经知道 猜想 到是网络流了，接下来就是建图的问题了。

首先要求出任意两个据点之间的最短距离，$\text{floyd}$ 都可以接受。

但是这里有个限制：显然这个最短路上中间经过的据点编号不能大于起终点的编号。

在 $\text{floyd}$ 的放缩更新中加上判断即可。

然后网络流上的图肯定是编号小的到编号大的点连边。

每个点都可能成为人最后停留的位置，所以每个点都要向汇点连边。

源点一开始只给初始点输送 $k$ 的流量，网络最后流出的 $k$ 条路径就是这 $k$ 个人的行动方案。

但这里我们要保证每个点被走的次数 $\ge 1$。

可以选择直接上下界网络流，也可以将网络流转化成费用流。

对每个点拆成入点和出点，连两条边，一条特殊的费用为 $-\infty$，流量为 $1$，另一条是普通的无费用，流量无限制。

这样子为了使得费用最小化，网络流肯定会流过所有点的特殊边。

这样子就达到了每个点至少被走过一次的要求。

最后再把费用加回来就行了 $n\ast \infty$。

这个建图的思路基础为 $k$ 条可重链覆盖图上所有点。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define maxn 400
#define maxm 300000
struct node { int to, nxt, flow, cost; }E[maxm];
int cnt = -1, n, m, K, s, t;
int head[maxn], lst[maxn], dep[maxn], vis[maxn];
int dis[maxn][maxn];
queue < int > q;void addedge( int u, int v, int w, int c ) {E[++ cnt] = { v, head[u], w, c }, head[u] = cnt;E[++ cnt] = { u, head[v], 0,-c }, head[v] = cnt;
}void build() {memset( head, -1, sizeof( head ) );s = 0, t = n << 1 | 1;addedge( s, 1, K, 0 );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {addedge( i, i + n, 1, -inf );addedge( i, i + n, inf, 0 );addedge( i + n, t, inf, 0 );for( int j = i + 1;j <= n;j ++ ) {if( dis[i][j] != inf )addedge( i + n, j, inf, dis[i][j] );}}
}bool SPFA() {memset( dep, 0x3f, sizeof( dep ) );memset( lst, -1, sizeof( lst ) );dep[s] = 0, q.push( s );while( ! q.empty() ) {int u = q.front(); q.pop(); vis[u] = 0;for( int i = head[u];~ i;i = E[i].nxt ) {int v = E[i].to;if( dep[v] > dep[u] + E[i].cost and E[i].flow ) {dep[v] = dep[u] + E[i].cost; lst[v] = i;if( ! vis[v] ) q.push( v ), vis[v] = 1;}}}return ~lst[t];
}int MCMF() {int ans = 0;while( SPFA() ) {int flow = inf;for( int i = lst[t];~ i;i = lst[E[i ^ 1].to] )flow = min( flow, E[i].flow );for( int i = lst[t];~ i;i = lst[E[i ^ 1].to] ) {E[i ^ 1].flow += flow;E[i].flow -= flow;ans += flow * E[i].cost;}}return ans + inf * n;
}signed main() {scanf( "%lld %lld %lld", &n, &m, &K );n ++;for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = 1;j <= n;j ++ )dis[i][j] = inf;for( int i = 1, u, v, w;i <= m;i ++ ) {scanf( "%lld %lld %lld", &u, &v, &w );u ++, v ++;dis[u][v] = dis[v][u] = min( w, dis[u][v] );}for( int k = 1;k <= n;k ++ )for( int i = 1;i <= n;i ++ )for( int j = 1;j <= n;j ++ )if( k < max( i, j ) )dis[i][j] = min( dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j] );build();printf( "%lld\n", MCMF() );return 0;
}