引入

二项式反演又名广义容斥定理
二项式反演可以表示成：
$f[n]={\sum }_{i=0}^n(-1{)}^i{C}_n^i{g}_i⟺g_n={\sum }_{i=0}^n(-1{)}^i{C}_n^{i}f[i]$
常用表达为：
$f[n]={\sum }_{i=0}^n{C}_n^{i}g[i]⟺g[n]={\sum }_{i=0}^n(-1{)}^{n-i}{C}_n^{i}f[i]$
证明详见：二项式反演理解与证明

应用

恰好和至多的转换：
设$f[i]$表示恰好的方案数，$g[i]$表示至多的方案数，则有：$g[n]={\sum }_{i=0}^n{C}_n^i\ast f[i]$
根据二项式反演有：
$$f[n]=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}\ast C_n^i\ast g_i$$
$g_i$可以在很短的时间内求出，再用g求f就得到答案

恰好和至少的转换：
设$f(i)表示恰好有i个的方案数，g(i)至少有i个的方案数$
有式子：$g(i)={\sum }_{x=i}^n{C}_x^i\ast f(x)$
根据二项式反演有：
$f(i)={\sum }_{x=i}^n(-1{)}^{x-i}\ast C_x^i\ast g(x)$

球染色问题：n个球，k个颜色，求满足相邻颜色不同，每种颜色至少出现一次的方案数
解决方案：如果忽略每种颜色至少出现一次的限制，那么方案数就是$k(k-1{)}^{n-1}$,就是一次安排颜色，除了第一次k个随便放，之后每次都是只能选k-1个(因为要和上一个不同)
设$f_i$表示恰好使用i种颜色的方案数。$g_k$表示n个球，用了k种颜色，不强制每种颜色必须出现的方案数。那么问题就是求$f_n$
先将函数$f$与$g$建立联系
$$g[k]=k(k-1{)}^{n-1}=\sum _{i=0}^k{C}_k^i\ast f[i]$$
我们反演可得：
$f[k]={\sum }_{i=0}^k{C}_k^i\ast g[i]$
$f[k]={\sum }_{i=0}^k{C}_k^i\ast (-1{)}^{k-i}\ast g[i]$

例题：

hdu P1465：最不容易系列之一
luogu P4859 已经没有什么好害怕的了
[NOI Online #2 T3]游戏