[POJ2888] Magic Bracelet

题目描述

简要题意：给圆上个点染色，颜色有种，其中对颜色不能相邻，循环同构，多组数据，询问染色方案数。

 

Solution

大概就是一道挺显然的Burnside题（一般染色，循环同构都酱紫做）。

对于一个圆上的循环同构，显然有个置换，用Burnside引理求解答案：

所以我们可以枚举置换中的循环个数，令    为不考虑循环同构时，个点种颜色，满足所有限制的方案数，最后

现在的问题转化为，如何求出  ，这是一个经典问题，可以解决。

令 为线段上个点，第个点的颜色为，满足其他所有限制的方案数。

 

这样的是  ，直接矩阵乘法优化成   。

最后的时间复杂度大概是——  。（实测需要卡常，实际速度和POJ测评机有关）

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=9973;
const int MAXN=1000005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
int flag[MAXN],phi[MAXN],prime[MAXN],pnum=0,n,m,k;
int Phi(int x)
{int cnt=x;if (x<=1e6) return phi[x];for (int i=1;prime[i]*prime[i]<=x;i++)if (!(x%prime[i])){cnt=cnt-cnt/prime[i];while (!(x%prime[i])) x/=prime[i];}return (x>1)?cnt-cnt/x:cnt;
}
void Init_Prime(int n)
{flag[1]=phi[1]=1; for (int i=2;i<=n;i++){if (!flag[i]) prime[++pnum]=i,phi[i]=i-1;for (int j=1;j<=pnum&&prime[j]*i<=n;j++){flag[prime[j]*i]=1;if (!(i%prime[j])) { phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j]; break; }phi[prime[j]*i]=phi[i]*phi[prime[j]];}}
}
int upd(int x,int y){ return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; }
struct Matrix 
{int n,A[10][10];Matrix(int n1=0) {n=n1;memset(A,0,sizeof A); }void Init() { memset(A,0,sizeof A); }void init() { for(int i=0;i<n;i++) A[i][i]=1; }Matrix operator * (const Matrix &b){Matrix ans(n);for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) for(int k=0;k<n;k++) ans.A[i][k]=upd(ans.A[i][k],A[i][j]*b.A[j][k]%mods);return ans;}Matrix operator ^ (const ll &b)  {Matrix ret(n),x=*this; ret.init();for (ll y=b;y;y>>=1) {if (y&1) ret=ret*x;x=x*x;}return ret;}void print(){for (int i=0;i<n;i++){for (int j=0;j<n;j++) cout<<setw(4)<<A[i][j];cout<<endl;}cout<<endl;}
} f,g;
int getans(int x)
{g=f^x;ll ans=0;for (int i=0;i<m;i++) ans+=g.A[i][i];return ans;
}
int solve(int x,int y)
{if (y==0) return 1;int q=solve(x,y>>1);return (y&1)?1ll*q*q%mods*x%mods:1ll*q*q%mods;
}
int main()
{Init_Prime(1000000);cout<<Phi(1000000000)<<endl;int Case=read();while (Case--){n=read(),m=read(),k=read();f.n=m;for (int i=0;i<m;i++)for (int j=0;j<m;j++) f.A[i][j]=1;for (int i=1;i<=k;i++) {int x=read()-1,y=read()-1;f.A[x][y]=0;f.A[y][x]=0;}ll ans=0;for (int i=1;i*i<=n;i++)if (n%i==0){ans=upd(ans,1ll*Phi(n/i)*getans(i)%mods);if (i*i!=n) ans=upd(ans,1ll*Phi(i)*getans(n/i)%mods);
//			cout<<ans<<endl;}printf("%d\n",1ll*ans*solve(n,mods-2)%mods);}return 0;
}