Loj#6485. LJJ 学二项式定理（单位根反演）

题目描述

题目描述
题意：求下面式子的答案QAQ。
$$[\sum (\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\cdot s^i\cdot a_{imod4})]mod998244353$$

Solution

The first 单位根反演题 of me。
题目中的式子很有趣，它的形式为$\sum a_{imod4}$
这就是一个典型的单位根反演的形式，因此考虑单位根反演的公式
$$\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{\omega }^{ik}=[n|k]$$
我们枚举$k=i\%4$，原式变为：
$$\sum _{k=0}^3{a}_k\sum _{i=0}^n[4|i+4-k]s^i\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$$
单位根反演，替换$[4|i+4-k]$进一步化简得到
$$\sum _{k=0}^3{a}_k\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^3{\omega }_4^{j(i+4-k)}{s}^i\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$$
整理式子：
$$\sum _{k=0}^3{a}_k\sum _{j=0}^3{\omega }_4^{j(4-k)}(\sum _{i=0}^n{\omega }_4^{ij}{s}^i\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}))$$
二项式定理一波走：
$$\sum _{k=0}^3{a}_k\sum _{j=0}^3{\omega }_4^{j(4-k)}(s{\omega }^j+1{)}^n$$
所以我们只需要预处理之后计算即可。
单次复杂度$O(c+lgn)$，$c$为常数。
注意$longlong$，下面的代码$defineintll$了。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second
#define int llusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
inline int quick_pow(int x,int y)
{if (y==0) return 1;int q=quick_pow(x,y>>1);return (y&1)?1ll*q*q%mods*x%mods:1ll*q*q%mods;
}
int a[4],w[4],P[4];
signed main() {int Case=read();int wn=quick_pow(3,(mods-1)/4);int inv4=quick_pow(4,mods-2);w[0]=1; for (int i=1;i<4;i++) w[i]=1ll*w[i-1]*wn%mods;while (Case--) {ll n=read(),s=read(),ans=0;for (int i=0;i<4;i++) a[i]=read();for (int i=0;i<4;i++) P[i]=quick_pow((1ll*w[i]*s+1)%mods,n);for (int i=0;i<4;i++) {int p=1ll*a[i]*inv4%mods;for (int j=0;j<4;j++) ans=(ans+1ll*p*w[j*(4-i)%4]%mods*P[j]%mods)%mods;}printf("%d\n",ans);}return 0;
}