[ZJOI2016]小星星

题目描述

luogu题面
给定一个n个点的树和n个点m条边的无向图，求将树嵌入图的方案数。
其中 $n\le 17,m\le \frac{n\ast (n-1)}{2}$。

Solution

点数很少，考虑状压DP。

令$f[i][j][k]$表示以$i$结点为根的子树，$i$号结点对应图上的$j$号结点，$k$集合中的结点已经被使用了。

转移就是枚举$i$的儿子$son$，枚举儿子对应的结点为$t$，枚举$k$的子集$s$，$f[i][j][k]={\sum }_{son,t,s}f[son][t][s]\ast f[i][j][k-s]$

时间复杂度为$O(3^n{n}^{balabala...})$，TLE。

考虑如何优化DP中枚举集合的状态。
有一种巧妙的容斥方法。

我们思考哪一些方案是不合法的，显然倘若选出的若干树上的结点对应了相同的图上结点，这一种方案不合法。

我们不在DP中枚举集合，而是让他任意选择，允许重复选同一个图上节点。
枚举可用的图上结点集合s，用$f[i][j]$表示以$i$结点为根的子树，$i$号结点对应图上的$j$号结点，只能选择图上s集合包含的结点的方案数。

此时的最终答案$Ans={\sum }_s{\sum }_{j}f[1][j](-1{)}^{popcount(2^n-1-s)}$
时间复杂度$O(2^n{n}^3)$，$luoguO2$可过。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
vector<int> e[20];
ll f[20][20];
int pick[20],flag[20][20],n,m;
void tree_dp(int x,int father)
{for (auto v:e[x]){if (v==father) continue;tree_dp(v,x);}for (int i=1;i<=n;i++) f[x][i]=pick[i];for (auto v:e[x]){if (v==father) continue;for (int j=1;j<=n;j++)if (pick[j]){ll sum=0;for (int k=1;k<=n;k++)if (flag[j][k]&&pick[k]) sum+=f[v][k];f[x][j]*=sum;}}
}
int main()
{n=read(),m=read();for (int i=1;i<=m;i++){int u=read(),v=read();flag[u][v]=flag[v][u]=1;}for (int i=1;i<n;i++){int u=read(),v=read();e[u].PB(v),e[v].PB(u);}ll ans=0;for (int i=1;i<1<<n;i++){int opt=((n-__builtin_popcount(i))&1)?-1:1;for (int j=1;j<=n;j++) pick[j]=(i>>(j-1))&1;tree_dp(1,0);for (int j=1;j<=n;j++) ans+=f[1][j]*opt;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}