P3206 [HNOI2010]城市建设

题目描述

无向图上修改边权，动态维护 $M S T$ ，求每次修改后的MST的权值和。

Solution

有一个简单好想的做法—— $L C T$ +线段树分治。
考虑每次加边，若形成了一个环，则把环上最大的一条边删掉， $L C T$ 维护。
然后删边就套一个线段树分治，删边操作就变成了加边和回退操作，直接做就行了。
时间复杂度：大常数 $O(nlg^2n)$ ，似乎卡不过。

还有一个神奇的做法。
因为一次修改操作只会改动MST上的一条边，所以我们考虑通过线段树分治，分治区间为 $[l, r]$ ，将点数和边数都保持在 $O (r - l)$ 级别。

设 $[l, r]$ 中的操作涉及的边集为 $S$ ，当前点集为 $V$ ，当前边集（不包含 $S$ 中的边）为 $E$
有两个显然的引理：
1.把 $S$ 的边权值都设为 $I N F$ ，将其设为 $S^{'}$ ，在 $(V, E + S^{'})$ 跑 $M S T$ ，显然若此时不在 $M S T$ 中的边在之后的分治过程中都不可能在 $M S T$ 中了，直接在 $E$ 删去即可。
2.把 $S$ 的边权值都设为 $- I N F$ ，将其设为 $S^{''}$ ，在 $(V, E + S^{''})$ 跑 $M S T$ ，显然若此时在 $M S T$ 中的边在之后的分治过程中都一定在 $M S T$ 中了，直接在 $E$ 删去，并加上贡献。

通过这两个引理就可以让 $∣ E ∣, ∣ V ∣ = O (r - l)$ 。
时间复杂度 $T(n)=T(n/2)+O(nlgn)=O(nlg^2n)$ ，常数比较小。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=50005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
PR a[MAXN];
int flag[MAXN],Flag[MAXN],fa[MAXN],vn[18],en[18],V[18][MAXN],To[MAXN],b[MAXN];
struct enode{ int u,v,c,id; } e[MAXN],E[18][MAXN],tmp[MAXN];
inline int compareE(enode x,enode y) { return x.c<y.c; }
inline int find(int x) { return fa[x]==x?fa[x]:fa[x]=find(fa[x]); }
inline void work1(int n,int m,int l,int r,int dep)
{for (int i=l;i<=r;i++) flag[a[i].fi]=1;for (int i=1;i<=m;i++){tmp[i]=E[dep][i];if (flag[E[dep][i].id]) tmp[i].c=INF;}sort(tmp+1,tmp+m+1,compareE);for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;for (int i=1;i<=m;i++){int x=find(tmp[i].u),y=find(tmp[i].v),c=tmp[i].c;if (x!=y) fa[x]=y;else if (c!=INF) Flag[tmp[i].id]=-1;}for (int i=l;i<=r;i++) flag[a[i].fi]=0;
}
inline void work2(int n,int m,int l,int r,int dep)
{for (int i=l;i<=r;i++) flag[a[i].fi]=1;for (int i=1;i<=m;i++){tmp[i]=E[dep][i];if (flag[E[dep][i].id]) tmp[i].c=-INF;}sort(tmp+1,tmp+m+1,compareE);for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;for (int i=1;i<=m;i++){int x=find(tmp[i].u),y=find(tmp[i].v),c=tmp[i].c;if (x!=y) {fa[x]=y;if (c!=-INF) Flag[tmp[i].id]=1;}}for (int i=l;i<=r;i++) flag[a[i].fi]=0;
}
inline void solve(int l,int r,int dep,ll Ans)
{int n=vn[dep],m=en[dep];if (l==r){for (int i=1;i<=m;i++){tmp[i]=E[dep][i];if (tmp[i].id==a[l].fi) tmp[i].c=a[l].se;}sort(tmp+1,tmp+m+1,compareE);for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;for (int i=1;i<=m;i++){int x=find(tmp[i].u),y=find(tmp[i].v),c=tmp[i].c;if (x!=y) fa[x]=y,Ans+=c;}printf("%lld\n",Ans);return;}for (int i=1;i<=m;i++) Flag[E[dep][i].id]=0;work1(n,m,l,r,dep);work2(n,m,l,r,dep);vn[dep+1]=en[dep+1]=0;for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;for (int i=1;i<=m;i++)if (Flag[E[dep][i].id]==1) {int x=find(E[dep][i].u),y=find(E[dep][i].v);if (x!=y) fa[x]=y;}for (int i=1;i<=n;i++) if (fa[i]==i) V[dep+1][++vn[dep+1]]=V[dep][i],To[i]=vn[dep+1];for (int i=1;i<=m;i++)if (Flag[E[dep][i].id]==1) Ans+=E[dep][i].c;else if (Flag[E[dep][i].id]==0) {int x=find(E[dep][i].u),y=find(E[dep][i].v);if (x!=y) E[dep+1][++en[dep+1]]=(enode){To[x],To[y],E[dep][i].c,E[dep][i].id};}int mid=(l+r)>>1;solve(l,mid,dep+1,Ans);for (int i=l;i<=mid;i++) b[a[i].fi]=a[i].se;for (int i=1;i<=en[dep+1];i++)if (b[E[dep+1][i].id]!=INF) E[dep+1][i].c=b[E[dep+1][i].id];for (int i=l;i<=mid;i++) b[a[i].fi]=INF;solve(mid+1,r,dep+1,Ans);
}
int main()
{int n=read(),m=read(),q=read();for (int i=1;i<=m;i++) {int u=read(),v=read(),c=read();e[i]=(enode){u,v,c,i};}for (int i=1;i<=q;i++){int x=read(),y=read();a[i]=MP(x,y);}vn[0]=n,en[0]=m;for (int i=1;i<=n;i++) V[0][i]=i;for (int i=1;i<=m;i++) E[0][i]=e[i],b[i]=INF;solve(1,q,0,0);return 0;
}