CF605C. Freelancer’s Dreams

题目描述

Solution

实际上就是给定$a_i,b_i,A,B$，求n维向量$(x1..x_n)$，使得：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i\ge A \\ \sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i\ge B \\ minz=\sum _i{x}_i \end{gathered}$$
答案就是$minz$
这是一个简单线性规划问题，转化为对偶形式，可得：
$$\begin{gathered} {\forall }_{i=1..n}{a}_i{y}_1+b_i{y}_2<=1 \\ maxz=A{y}_1+B{y}_2 \\ {y}_1,y_2\ge 0 \end{gathered}$$
可以把上面的1式转化为：
$${\forall }_{i=1..n}{y}_1<=\frac{1-b_i{y}_2}{a_i}$$

现在的变量是$y_1,y_2$，相当于求二维平面的半平面交，可以求一个凸包解决。

但显然有更简单的方法：我们确定了$y_2$之后可以唯一确定$y_1$，并且该情况下答案显然是一个凸函数，所以可以直接三分$y_2$去求出极值点。

时间复杂度$O(nlgn)$。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-12;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
int n,A,B,a[MAXN],b[MAXN];
lod check(lod y2)
{lod y1=1e6;for (int i=1;i<=n;i++) upmin(y1,(1-y2*b[i])/a[i]);if (y1<eps) return -1;return y1*A+y2*B;
}
int main()
{n=read(),A=read(),B=read();for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),b[i]=read();lod l=0,r=1e6;while (r-l>eps){lod midl=l+(r-l)/3,midr=r-(r-l)/3;if (check(midl)+eps<check(midr)) l=midl;else r=midr;}printf("%.11lf\n",(double)check(l));return 0;
}