NUMTRYE - Number Theory (Easy)
Hard 版本就是用 pollard_rho 分解质因子。
f(n)=∏(pi2ei+1+1)f(n) = \prod(p_i ^{2e_i + 1} + 1)f(n)=∏(pi2ei+1+1),g(n)=∑i=1nngcd(n,i)g(n) = \sum\limits_{i = 1} ^{n} \frac{n}{\gcd(n, i)}g(n)=i=1∑ngcd(n,i)n,pip_ipi是nnn的质因子,eie_iei是pip_ipi的次幂,求f(n)g(n)\frac{f(n)}{g(n)}g(n)f(n)。
∑i=1nngcd(n,i)∑d∣nnd∑i=1nd[gcd(nd,i)=1]∑d∣ndϕ(d)由于f(n)是质数次幂形式,g(n)是一个积性函数,也考虑写出次幂形式g(p)=1+p(p−1),g(pk)=∑i=0kpiϕ(pi)=∑i=1kpipi−1(p−1)+1等比数列求和,再化简可得g(pk)=p2k+1+1p+1有f(n)g(n)=∏(pi+1)\sum_{i = 1} ^{n} \frac{n}{gcd(n, i)}\\ \sum_{d \mid n} \frac{n}{d} \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} [gcd(\frac{n}{d}, i) = 1]\\ \sum_{d \mid n} d \phi(d)\\ 由于f(n)是质数次幂形式,g(n)是一个积性函数,也考虑写出次幂形式\\ g(p) = 1 + p(p - 1), g(p ^ k) = \sum_{i = 0} ^{k} p ^i \phi(p ^ i) = \sum_{i = 1} ^{k} p ^ i p ^{i - 1}(p - 1) + 1\\ 等比数列求和,再化简可得g(p ^k) = \frac{p ^{2k + 1} + 1}{p + 1}\\ 有\frac{f(n)}{g(n)} = \prod(p_i + 1)\\ i=1∑ngcd(n,i)nd∣n∑dni=1∑dn[gcd(dn,i)=1]d∣n∑dϕ(d)由于f(n)是质数次幂形式,g(n)是一个积性函数,也考虑写出次幂形式g(p)=1+p(p−1),g(pk)=i=0∑kpiϕ(pi)=i=1∑kpipi−1(p−1)+1等比数列求和,再化简可得g(pk)=p+1p2k+1+1有g(n)f(n)=∏(pi+1)
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1e6 + 10, mod = 1000000007;int prime[N], cnt;bool st[N];void init() {for (int i = 2; i < N; i++) {if (!st[i]) {prime[++cnt] = i;}for (int j = 1; j <= cnt && 1ll * i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;if (i % prime[j] == 0) {break;}}}
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int T;init();scanf("%d", &T);while (T--) {ll n, ans = 1;scanf("%lld", &n);for (int i = 1; i <= cnt && 1ll * prime[i] * prime[i] <= n; i++) {if (n % prime[i] == 0) {while (n % prime[i] == 0) {n /= prime[i];}ans = (prime[i] + 1) * ans % mod;}}if (n != 1) {ans = (n + 1) % mod * ans % mod;}printf("%lld\n", ans);}return 0;
}