P6271 [湖北省队互测2014]一个人的数论(莫比乌斯反演 + 伯努利数)

P6271 [湖北省队互测2014]一个人的数论

∑i=1nim[gcd⁡(i,n)=1]∑d∣nμ(d)dm∑i=1ndim由伯努利数可知∑i=0nim=1m+1∑i=0mCm+1iBi(n+1)m−i+1设fi=1m+1Bm−i+1Cm+1i,则有∑d∣nμ(d)dm(∑i=1m+1fi(nd)i+(nd)m)∑i=1m+1fini∑d∣nμ(d)dm−i+(nm∑d∣nμ(d))考虑后项∑d∣nμ(d)dm−i,迪利克雷卷积乘积,为积性函数F(n)=∑d∣nμ(d)dm−i,F(1)=1,F(pk)=1−pm−i\sum_{i = 1} ^{n} i ^ m [\gcd(i, n) = 1]\\ \sum_{d \mid n} \mu(d) d ^ m \sum_{i = 1} ^{\frac{n}{d}} i ^ m\\ 由伯努利数可知\sum_{i = 0} ^{n} i ^ m = \frac{1}{m + 1} \sum_{i = 0} ^{m} C_{m + 1} ^{i} B_i (n + 1) ^{m - i + 1}\\ 设f_i = \frac{1}{m + 1}B_{m - i + 1} C_{m + 1} ^{i},则有\\ \sum_{d \mid n} \mu(d) d ^ m \left( \sum_{i = 1} ^{m + 1} f_i (\frac{n}{d}) ^ i + (\frac{n}{d}) ^ {m} \right) \\ \sum_{i = 1} ^{m + 1} f_i n ^ i \sum_{d \mid n} \mu(d) d ^{m - i} + (n ^ m \sum_{d \mid n} \mu(d))\\ 考虑后项\sum_{d \mid n} \mu(d) d ^{m - i},迪利克雷卷积乘积,为积性函数\\ F(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) d ^{m - i}, F(1) = 1, F(p ^ k) = 1 - p ^{m - i}\\ i=1nim[gcd(i,n)=1]dnμ(d)dmi=1dnimi=0nim=m+11i=0mCm+1iBi(n+1)mi+1fi=m+11Bmi+1Cm+1i,dnμ(d)dm(i=1m+1fi(dn)i+(dn)m)i=1m+1finidnμ(d)dmi+(nmdnμ(d))dnμ(d)dmiF(n)=dnμ(d)dmi,F(1)=1,F(pk)=1pmi

由于mmm较小,且模数是109+710 ^ 9 + 7109+7,所以可以考虑O(m2)O(m ^2)O(m2)递推得到伯努利数,之后可以枚举iii,然后每次O(w)O(w)O(w)做一次线性筛,整体复杂度O(mw)O(m w)O(mw)

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1e3 + 10, mod = 1e9 + 7;int C[N][N], B[N], inv[N], f[N], p[N], n, m;void init() {for (int i = 0; i < N; i++) {C[i][0] = C[i][i] = 1;for (int j = 1; j < i; j++) {C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;}}inv[1] = 1;for (int i = 2; i < N; i++) {inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;}B[0] = 1;for (int i = 1; i < N; i++) {int cur = 0;for (int j = 0; j < i; j++) {cur = (cur + 1ll * C[i + 1][j] * B[j] % mod) % mod;}cur = 1ll * cur * inv[i + 1] % mod;B[i] = (mod - cur) % mod;}
}int quick_pow(int a, int n) {int ans = 1;while (n) {if (n & 1) {ans = 1ll * ans * a % mod;}a = 1ll * a * a % mod;n >>= 1;}return ans;
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);init();scanf("%d %d", &m, &n);for (int i = 1; i <= m + 1; i++) {f[i] = 1ll * inv[m + 1] * B[m - i + 1] % mod * C[m + 1][i] % mod;}int base = 1;for (int i = 1, w; i <= n; i++) {scanf("%d %d", &p[i], &w);base = 1ll * base * quick_pow(p[i], w) % mod;}int ans = 0, now = 1;for (int i = 1; i <= m + 1; i++) {now = 1ll * now * base % mod;int cur = 1ll * f[i] * now % mod, res = 1, po = m - i;if (po < 0) {po += mod - 1;}for (int j = 1; j <= n; j++) {res = 1ll * res * (1 - quick_pow(p[j], po) + mod) % mod;}cur = 1ll * cur * res % mod;ans = (ans + cur) % mod;}printf("%d\n", ans);return 0;
}

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/313773.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

Java面试题汇总

1、综合素质层面 个人介绍、离职原因、兴趣爱好等 https://mp.weixin.qq.com/s?__bizMzI3NzE0NjcwMg&mid2650121143&idx2&snf4c4f26bc5d2132352f12d28c8cb2264&chksmf36bbe96c41c3780d8086adec7be8737ce3718db9c2a7fa33aa7591f8ae179ed3240286f3886&scen…

微软发布.Net Core 3.0 RC1,最终版本定于9月23日

2019.9.17 微软 宣布推出.NET Core 3.0 Release Candidate 1。就像Preview 9一样&#xff0c;主要专注于为 .NET Core 3.0 发布最终版本 。现在变得非常非常接近。将在9月23日.NET Conf上发布最终版本。.NET Core 3.0是从仅支持Windows传统的 .NET框架向更现代化的开源实现过渡…

JVM内存结构 VS Java内存模型 VS Java对象模型

Java作为一种面向对象的&#xff0c;跨平台语言&#xff0c;其对象、内存等一直是比较难的知识点。而且很多概念的名称看起来又那么相似&#xff0c;很多人会傻傻分不清楚。比如本文我们要讨论的JVM内存结构、Java内存模型和Java对象模型&#xff0c;这就是三个截然不同的概念&…

ZOJ The Sum of Unitary Totient(min_25 筛)

The Sum of Unitary Totient 积性函数&#xff0c;满足质数点是多项式&#xff0c;直接 min_25 了&#xff0c;由于单次求解&#xff0c;所以使用递归的 min_25 会较快。 #include <bits/stdc.h>using namespace std;const int N 1e5 10;int prime[N], a[N], id1[N],…

迫于误解压力,RMS从自由软件基金会与MIT离职

自由软件基金会官网显示&#xff0c;基金会创始人兼主席、自由软件运动发起人 Richard M. Stallman&#xff08;RMS&#xff09;辞去主席职务并辞去董事会职务。而另一边&#xff0c;stallman.org 邮件列表显示&#xff0c;RMS 已经从麻省理工学院&#xff08;MIT&#xff09;计…

F - Colorful Tree(LCA,树上差分,离线处理)

F - Colorful Tree 给定一棵树&#xff0c;边有边权&#xff0c;且每条边有一个颜色&#xff0c;有mmm次操作&#xff0c; 每次给定x,y,u,vx, y, u, vx,y,u,v&#xff0c;如果把颜色为xxx的边&#xff0c;边权修改为yyy&#xff0c;求u,vu, vu,v两点的距离&#xff0c;考虑 …

让人迷茫的三十岁!从专业技能、行业知识和软实力谈一下!

作者&#xff1a;邹溪源&#xff0c;长沙资深互联网从业者&#xff0c;架构师社区合伙人&#xff01;我今年三十岁&#xff0c;我很迷茫&#xff0c;不知道未来该选择什么发展方向。这是我无意中在社区微信群中看到的一位年轻的开发者说的话&#xff0c;之前他也经常会在技术群…

D. Steps to One(概率DP,莫比乌斯反演)

D. Steps to One 设f[i]f[i]f[i]为gcd⁡\gcdgcd为iii&#xff0c;还需要多少个数&#xff0c;那么有f[i]1∑j1mf[gcd⁡(i,j)]mf[i] 1 \frac{\sum\limits_{j 1} ^{m} f[\gcd(i, j)]}{m}f[i]1mj1∑m​f[gcd(i,j)]​&#xff0c; f[1]0f[1] 0f[1]0&#xff0c;考虑化简∑j1mf…

误用.Net Redis客户端工具CSRedisCore,自己挖坑自己填

前导  上次Redis MQ分布式改造完成之后&#xff0c; 编排的容器稳定运行了一个多月&#xff0c;昨天突然收到ETL端同事通知&#xff0c;没有采集到解析日志了。赶紧进服务器看了一下&#xff0c;用于数据接收的receiver容器挂掉了&#xff0c; 尝试docker container start [c…

Java——类加载机制

** 一、什么是类的加载 ** 类的加载指的是将类的.class文件中的二进制数据读入到内存中&#xff0c;将其放在运行时数据区的方法区内&#xff0c;然后在堆区创建一个java.lang.Class对象&#xff0c;用来封装类在方法区内的数据结构。类的加载的最终产品是位于堆区中的Class…

.NET中国峰会议题征集

月初做的调查《》&#xff0c;参与人数576人&#xff0c;愿意参与分享.NET Core经验的142人&#xff0c;今天发起分会场主题演讲和闪电演讲议题.2014年微软组织成立.NET基金会&#xff0c;微软在成为主要的开源参与者的道路上又前进了一步。2014年以来已经有众多知名公司加入.N…

E. Almost Sorted(构造,递归)

E. Almost Sorted 我们定义 almost sorted 数组为&#xff0c;ai1≥ai−1a_{i 1} \geq a_i - 1ai1​≥ai​−1&#xff0c;也就是说&#xff0c; 先写几项出来看看&#xff1a; n 1 1 n 2 1 2 2 1 n 3 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1 容易发现一定是&#xff0c;形如x,x−1,x−…

D. Cut and Stick(Codeforces Round #716 (Div. 2))

D. Cut and Stick 给定一个长度为nnn的数组&#xff0c;里面元素为a1,a2,a3,…,an−1,an,(1≤ai≤n)a_1, a_2, a_3, \dots, a_{n- 1}, a_n, (1 \leq a_i \leq n)a1​,a2​,a3​,…,an−1​,an​,(1≤ai​≤n)&#xff0c;有mmm次询问&#xff0c;每次给定l,rl, rl,r&#xff0…

一些学习教程资料等你来拿

近期整理自己的云盘中发现近年来私藏了很多学习资料和教程&#xff0c;本着独乐乐不如众乐乐的精神&#xff0c;特将其分享出来供有兴趣的童鞋学习。进入公众号&#xff0c;输入关键词"敏捷"/"agile"/"scrum"&#xff0c;即可获得敏捷开发类别的…

Java——编译与反编译

** 一、基础知识 ** 1.1 编程语言 在介绍编译和反编译之前&#xff0c;我们先来简单介绍下编程语言&#xff08;Programming Language&#xff09;。编程语言&#xff08;Programming Language&#xff09;分为低级语言&#xff08;Low-level Language&#xff09;和高级语…

程序员自家种水果,新鲜包邮配送

上次猕猴桃的活动<好多小伙伴&#xff0c;买了一箱尝过后又下单了好几箱。事实证明&#xff0c;品质才是销量的最佳保证。有些粉丝找到我说&#xff0c;自己家也有果园自己种水果&#xff0c;都是当天采摘当天发货的纯天然水果。于是他们给我寄了一些自家种的苹果、香瓜、冬…

2016-2017 ACM-ICPC CHINA-Final(7 / 12)

2016-2017 ACM-ICPC CHINA-Final A. Number Theory Problem&#xff08;规律、签到&#xff09; #include <bits/stdc.h>using namespace std;int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdo…

【招聘(广州)】-年薪30W起-自助打印领域业内第一

印萌是一家为高校打印店提供整套“无人自助打印”解决方案的互联网科技公司&#xff0c;已获得数百万元融资&#xff0c;公司正向盈利。目前产品覆盖清华大学、北京大学、中山大学、复旦大学、浙江大学等700多所高校&#xff0c;多达1800间打印店&#xff0c;累计为全国1200万大…

尾递归

1、递归 简单的来说递归就是一个函数直接或间接地调用自身&#xff0c;是为直接或间接递归。一般来说&#xff0c;递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时&#xff0c;递归前进&#xff1b;当边界条件满足时&#xff0c;递归返回。 用递归需要注意以…

小 Q 与函数求和 1(牛客练习赛 81 E)

小 Q 与函数求和 1 ∑i1n∑j1nϕ(ijgcd⁡(i,j)K)∑i1n∑j1ngcd⁡(i,j)Kϕ(ij)∑i1n∑j1ngcd⁡(i,j)Kϕ(i)ϕ(j)gcd⁡(i,j)ϕ(gcd⁡(i,j))∑i1n∑j1ngcd⁡(i,j)K1ϕ(i)ϕ(j)ϕ(gcd⁡(i,j))∑d1ndK1inv(ϕ(d))∑i1nd∑j1ndϕ(id)ϕ(jd)[gcd⁡(i,j)1]∑d1ndK1inv(phi(d))∑k1ndϕ(…