考虑枚举每个矩形的长跟宽，再统计这个矩形能在坐标轴上出现几次（同行相邻同列相邻的单独算），然后有如下式子：

$$2\times \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=1}^{m-1}(n-i)(m-j)[\gcd (i,j)=1][L^2\le i^2+j^2\le R^2]$$
设$F(n,m,T^2)=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=1}^{m-1}(n-i)(m-j)[\gcd (i,j)=1,i^2+j^2\le T^2]$，则$ans=F(n,m,R^2)-F(n,m,L^2-1)$。

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{n-1}\mu (k)\sum _{i=1}^{\frac{n-1}{k}}\sum _{j=1}^{\frac{m-1}{k}}(n-ik)(m-jk)[i^2{k}^2+j^2{k}^2\le T^2] \\ \sum _{k=1}^{n-1}\mu (k)\sum _{i=1}^{\frac{n-1}{k}}(n-ik)calc() \end{gathered}$$
$calc()$就是当已知$i,k,T$，有多少$j$满足$i^2{k}^2+j^2{k}^2\le T^2$，的$m-jk$求和，整体复杂度$O(k\times n\log n)$，$k$是个比较小的常数

今天VP的时候碰到的，到了一直没看这题，到了最后才发现是个数论题。

说一点点坑点吧，注意函数不能写成$f(n,m,T)=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=1}^{m-1}(n-i)(m-j)[\gcd (i,j)=1,i^2+j^2\le T^2]$，

然后答案是$f(n,m,R)-f(n,m,L-1)$，这样会使满足条件得满足条件的一些数$(L-1{)}^2<i^2{k}^2+j^2{k}^2<L^2$，

没有被删去而算在贡献里了，会导致答案出错，就因为这个调了一晚上，一直不知道哪里错了，，，

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1e5 + 10, mod = 1e9 + 7;int prime[N], mu[N], cnt, n, m, L, R;bool st[N];inline int add(int x, int y) {return x + y < mod ? x + y : x + y - mod;
}inline int sub(int x, int y) {return x >= y ? x - y : x - y + mod;
}void init() {mu[1] = 1;for (int i = 2; i < N; i++) {if (!st[i]) {mu[i] = -1;prime[++cnt] = i;}for (int j = 1; j <= cnt && 1ll * i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;if (i % prime[j] == 0) {break;}mu[i * prime[j]] = -mu[i];}}
}int calc(int i, int k, long long T) { // i * i * k * k + j * j * k * k <= Tint l = 0, r = (m - 1) / k;while (l < r) {int mid = l + r + 1 >> 1;if (1ll * i * i * k * k + 1ll * mid * mid * k * k > T) {r = mid - 1;}else {l = mid;}}return 1ll * (m - k + m - l * k) * l / 2 % mod;
}int f(long long T) {int ans = 0;for (int k = 1, lim, res; k <= n - 1; k++) {if (mu[k] == 0) {continue;}lim = (n - 1) / k, res = 0;for (int i = 1; i <= lim; i++) {res = add(res, 1ll * (n - i * k) * calc(i, k, T) % mod);}if (mu[k] == 1) {ans = add(ans, res);}else {ans = sub(ans, res);}}ans = 2ll * ans % mod;if (T >= 1) {ans = add(ans, add(1ll * n * (m - 1) % mod, 1ll * (n - 1) * m % mod));}return ans;
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);init();scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &L, &R);printf("%d\n", sub(f(1ll * R * R), f(1ll * L * L - 1)));return 0;
}