什么是二叉搜索树？

顾名思义，一颗二叉搜索树是基于二叉树来组织的，它包括许多动态集合操作（Search，MiniNum, MaxiNum, Prodecessor, Successor, Insert 和Delete等）。二叉搜索树上的基本操作所花费的时间与这棵树的高度成正比，对呀有n个节点组成的完全二叉树来说，这些操作的最坏的运行时间是O(lg n）。

如图所示是一个搜索二叉树的结构。一个二叉树每一个节点就是一个对象，包含的属性有左结点（left），右结点right）和父结点（parent）以及这个节点的关键值（key）。在上图中，根节点的关键值是6，左结点是5，右结点是8，父节点为空。这是一颗完全（除叶子结点外所有节点都存在左右结点）的搜索二叉树，要注意的是，二叉搜索树的左结点值小于等于根结点的值，而右结点的值大于等于根结点的值。搜索二叉树的性质允许我们通过一个简单的递归算法（中序遍历）就可以得到树中的所有关键字。一个二叉树结构在C++中可以表示成如下：

struct BinaryTreeNode{int val; //keyBinaryTreeNode *left; //left NodeBinaryTreeNode *right; //right Node
};

 

搜索二叉树的遍历

中序遍历：左——根——右，根结点在中间遍历，上图中二叉树经过中序遍历得到的是：4，5，5，6，7，8，9.

前序遍历：根——左——右，根结点在前面的遍历，上图中二叉树经过前序遍历得到的是：6，5，4，5，8，7，8。

后序遍历：左——右——根，根结点在后面的遍历，上图中二叉树经过后序遍历得到的是：4，5，5，7，9，8，6.

//前序遍历二叉树
void TreeWalk(BinaryTreeNode *root)   
{    if(root==nullptr) return;vector<int>tree;tree.push_back(root->val);if(root->left) TreeWalk(root->left);if(root->right) TreeWalk(root->right);return;
}//中序遍历二叉树
void TreeWalk(BinaryTreeNode *root)   
{   vector<int>tree; if(root->left!=nullptr)TreeWalk(root->left);tree.push_back(root->val);TreeWalk(root->right);return;
}//后序遍历二叉树
void TreeWalk(BinaryTreeNode *root)   
{   vector<int>tree; if(root->left!=nullptr)TreeWalk(root->left);TreeWalk(root->right);tree.push_back(root->val);return;
}

查询二叉搜索树

如何查询二叉搜索树中的最小值，最大值，或者任意一个值？

查询最小值，根据二叉搜索树的性质可以知道，搜索二叉树的最小值为最左边叶子结点的值。同理，我们知道二叉搜索树的最大值为最右边叶子结点的值。代码如下：

//最小值
int GetMiniNum(BinaryTreeNode* root)
{    while(root->left!=nullptr) root=root->left;return root->val;
}//最大值
int GetMaxiNum(BinaryTreeNode *root)
{while(root->right!=nullptr) root=root->right;return root->val;
}

查询二叉搜索树中的任意一个值（相当于数组查询的二分法），时间复杂度最差为O(depth），depth为二叉树的深度。代码如下：

BinaryreeNode * Search(BinaryTreeNode *root,int k)
{if(root==nullptr||root->val==k) return root;if(k<root->val)Search(root->left,k);elseSearch(root->right,k);
}

二叉搜索树的插入和删除

要将一个新值x插入到二叉搜索树中，需要调用Search操作。

void InsertTreeNode(BinaryTreeNode *root, k)
{BinaryTreeNode *ToBeInsert=new BinaryTreeNode(k);BinaryTreeNode *pCur=root;while(pNode!=nullptr){    BinaryTreeNode *pNode=pCur;if(pCur->val>k){    pCur=pCur->left;if(pCur==nullptr)pCur->left=ToBeInsert;}else {pCur=pCur->right;if(pCur==nullptr)pCur->right=ToBeInsert;}}
}