堆
一点疑惑，堆排序是就地排序，所以空间复杂度是 O(1)。但是，比如我有一个数组，建立一个最小堆，然后每次取出最小堆的顶点。建立最小堆需要额外空间？
不深究了，归并排序需要额外空间。
堆是完全二叉树，所以可以用数组表示。普通的二叉树需要用链表表示。
完全二叉树不等于满二叉树。下图是一个完全二叉树。
我们数组下标从0开始。
我们可以得到父节点和子节点之前的坐标公式。
leftChild = 2*parent+1;
rightChild = 2*parent +2;
parent = (child-1)/2;//child 为 leftChild 或 rightChild
插入堆
从书上截取的图片，注意，书上描述的是最大堆，我们代码实现的是最小堆。
插入堆后，保存父节点>子节点的性质。
代码算法怎么实现呢？我们需要保持最大堆的性质，插入元素后必然需要移动数组。
下面的方法是先把元素插到数组的末尾，然后比较该元素和父亲元素，判断是否需要交换。重复上述步骤，知道遍历完成或者堆已经是最大堆了。
代码
/** * 增加一个新元素，步骤是 1. 先把元素插入到 list 的末尾 2. 比较末尾元素和它的父元素，若小于，交换两者 3. * 重复上述步骤，直到到顶点位置或者子元素大于父元素 4. 不一定要遍历堆所有的元素，达到堆的性质后会提前结束 * * @param array */
public void add(E array) {
data.add(array);
int child = data.size() - 1;
int parent = (child - 1) / 2;
// 判断是否到达顶点
while (child > 0) {
// 父元素大于子元素，交换，保持父是小的
if (data.get(parent).compareTo(array) > 0) {
data.set(child, data.get(parent));
data.set(parent, array);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
} else {
// 已经是最小堆了，无需再比较
break;
}
}
}
上面使用的是插入的方法，充分利用原有最大堆的性质。思路很棒！！
删除顶点元素
删除元素，我自己想的时候也想不到好方法。看书上的才明白，也是利用交换的思路。
删除顶点元素，然后将最后一个元素移动到顶点处。再从上往下遍历，判断顶点元素和它子节点是否满足堆的性质，不满足则交换。重复上述步骤，知道遍历完成或者堆已经是最大堆。
Note 删除和插入元素，不一定需要遍历二叉树的所有层，当已经满足最大堆的性质时候，就可以结束。
代码
/** * 删除顶点处的元素，步骤是： 1. 把末尾的元素复制到顶点处 2. 然后比较此时顶点的值和左右子树，保持最小堆的性质 3. * 交换顶点和左右子树较小的值 4. 重复上述步骤，直到已经成了最小堆或者遍历完 5. 注意可能存在左子树存在，右子树不存在情况 6. * 不一定要遍历堆所有的元素，达到堆的性质后会提前结束 * * @return 返回被删除的元素 */
public E removeTop() {
if (data.isEmpty())
return null;
E removed = data.get(0);
// 因为一直交换的是最后的元素，这儿将其保存
E last = data.get(data.size() - 1);
data.set(0, last);
data.remove(data.size() - 1);
int parent = 0;
int leftChild = parent * 2 + 1;
int rightChild = parent * 2 + 2;
while (leftChild <= data.size() - 1) {
int minIndex = leftChild;
// 右子树存在，判断左右子树哪个小，保存坐标
// 如果不存在，那么使用左子树的坐标
// 保存较小元素的坐标，可以省去考虑左右子树都存在，只有左存在的情况
if (rightChild <= data.size() - 1) {
if (data.get(rightChild).compareTo(data.get(leftChild)) < 0) {
minIndex = rightChild;
}
}
if (data.get(minIndex).compareTo(last) < 0) {
data.set(parent, data.get(minIndex));
data.set(minIndex, last);
parent = minIndex;
leftChild = parent * 2 + 1;
rightChild = parent * 2 + 2;
} else {
break; // 已经达到了最小堆的性质
}
}
return removed;
}
注意：代码需要考虑左右子树都存在、只有左子树存在的情景。(只有右子树存在是不可能的)。 那么parent需要和left还是right交换呢？
我本来是用了一大堆if判断。
看书上的很简洁，先设置minIndex = leftChild; (因为左子树是肯定存在的)，然后如果右子树存在的情况下 比较左子树和右子树。如果右子树小，minIndex = rightChild; 否则minIndex不变。然后就可以比较minIndex 和 parent了。
而我以前的方法是 先对左右子树的情况比较。找出较小的树，然后和parent比较。 再考虑左子树的情况，比较左子树和parent。这个方法就很冗余。
利用堆进行排序
先将原来的数据入堆，然后依次取出顶点元素。注意，如果是最大堆，得到的降序。如果是最小堆，得到的是升序。
时间复杂度
堆是有二叉树实现的，对于n个元素，建立二叉树的话，数的深度是log(n)。
add方法会追踪顶点到最下边叶子节点的路径，这个路径的长度就是树的深度，log(n)。
对于建立一个二叉树，添加一个元素最多需要log(n)步。所以所以元素添加需要nlog(n)步。
注意如果原来数据是升序的，对于建立一个最小堆是最好情景，对于建立一个最大堆时间是最差情景。
进行对排序，也需要调用n次remove方法，每次remove方法最多需要log(n)步骤。需要的总时间的nlog(n)。
全部代码
/** * 最小堆和堆排序, 最小堆，顶点的元素是最小值， 根据《Java 语言程序设计 进阶篇》 p83 改写， 书上是最大堆. 堆排序 * 将元素都存入最小堆中，从最小堆里面每次取出顶点元素 * * @author tomchen * * @param */
public class MinHeap {
// 测试程序
public static void main(String[] args) {
Random r = new Random(System.currentTimeMillis());
// 测试10次
for (int t = 0; t < 10; t++) {
MinHeap heap = new MinHeap();
int mSize = r.nextInt(15);
Integer[] original = new Integer[mSize];
// 堆的长度和元素都是随机
for (int i = 0; i < mSize; i++) {
original[i] = r.nextInt(100);
}
//copy 数组，调用标准库的方法
Integer[] copy = Arrays.copyOf(original, mSize);
Arrays.sort(copy);
//这儿输出 original 还是乱序的，证明 copy 的排序并无影响
System.out.println("original data: " + Arrays.toString(original));
System.out.println("other sorted data: " + Arrays.toString(copy));
// 调用 heap 排序
heapSort(original);
System.out.println("sorted data: " + Arrays.toString(original));
System.out.println("two sort eqyal : " + Arrays.equals(copy,original));
System.out.println("-----------------------------------------");
}
}
public static void heapSort(E[] array) {
MinHeap heap = new MinHeap();
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
heap.add(array[i]);
}
System.out.println("Debug: heap is " + heap);
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
array[i] = heap.removeTop();
}
}
private ArrayList data = new ArrayList();
public MinHeap() {
}
/** * 增加一个新元素，步骤是 1. 先把元素插入到 list 的末尾 2. 比较末尾元素和它的父元素，若小于，交换两者 3. * 重复上述步骤，直到到顶点位置或者子元素大于父元素 4. 不一定要遍历堆所有的元素，达到堆的性质后会提前结束 * * @param array */
public void add(E array) {
data.add(array);
int child = data.size() - 1;
int parent = (child - 1) / 2;
// 判断是否到达顶点
while (child > 0) {
// 父元素大于子元素，交换，保持父是小的
if (data.get(parent).compareTo(array) > 0) {
data.set(child, data.get(parent));
data.set(parent, array);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
} else {
// 已经是最小堆了，无需再比较
break;
}
}
}
/** * 删除顶点处的元素，步骤是： 1. 把末尾的元素复制到顶点处 2. 然后比较此时顶点的值和左右子树，保持最小堆的性质 3. * 交换顶点和左右子树较小的值 4. 重复上述步骤，直到已经成了最小堆或者遍历完 5. 注意可能存在左子树存在，右子树不存在情况 6. * 不一定要遍历堆所有的元素，达到堆的性质后会提前结束 * * @return 返回被删除的元素 */
public E removeTop() {
if (data.isEmpty())
return null;
E removed = data.get(0);
// 因为一直交换的是最后的元素，这儿将其保存
E last = data.get(data.size() - 1);
data.set(0, last);
data.remove(data.size() - 1);
int parent = 0;
int leftChild = parent * 2 + 1;
int rightChild = parent * 2 + 2;
while (leftChild <= data.size() - 1) {
int minIndex = leftChild;
// 右子树存在，判断左右子树哪个小，保存坐标
// 如果不存在，那么使用左子树的坐标
// 保存较小元素的坐标，可以省去考虑左右子树都存在，只有左存在的情况
if (rightChild <= data.size() - 1) {
if (data.get(rightChild).compareTo(data.get(leftChild)) < 0) {
minIndex = rightChild;
}
}
if (data.get(minIndex).compareTo(last) < 0) {
data.set(parent, data.get(minIndex));
data.set(minIndex, last);
parent = minIndex;
leftChild = parent * 2 + 1;
rightChild = parent * 2 + 2;
} else {
break; // 已经达到了最小堆的性质
}
}
return removed;
}
@Override
public String toString() {
return data.toString();
}
}
参考文章
