第四章 导数与微分

一、引例

1. 瞬时速度（变速直线运动）

2. 切线的斜率

二、导数的定义

（1）导数

定义1：若

在

点某邻域上有定义，且

存在，则称

在

点可导，该极限值称为

在

点的导数，记

或

或

或

.

注：

1. 若

不存在，则称

在

点不可导

若

，记

2. 物理意义——瞬时速度

几何意义——斜线斜率

3.

例1：

在

点的导数

解：

例2：

，求

解：

而

但

不存在，

在

点不可导

（2）单侧导数

定义2：若

在

上有定义，且

存在，则称

在

点左可导，极限值称为

在

点的左导数，记

或

.

注：右导数可以类似定义.

定理1：

.

例3：

，求

解：

所以

（3）区间上导数

定义3：

在

上每一点都可导，则称

在

上可导.

在

上可导

在

上可导且

在

点右可导，

点左可导.

注：

满足值得唯一对应性，是关于

的函数，叫

上的导函数，记

或

或

或

.

（4）几何意义的应用

过

点切线：

过

点法线：

三、可导与连续

定理2：

在

点可导

在

点连续.

证明：根据定义，

在

有定义，且

存在

则

则

故

在

点连续

注：

在

点不连续

在

点不可导.

例4：

，求

解：

故

在

点不可导

例5：

（1）

（2）

，讨论

处的连续性和可导性

解：（1）

，连续

（振荡），不可导

（2）

，可导

连续

例6：若

为奇函数且

存在，证明

存在.

证明：

为奇函数

且

故

存在.

注：不可导：

1. 跳跃
2. 无穷
3. 振荡

一、几个基本初等函数的导数

命题1：

证明：

当

时

当

时

二、求导法则

（1）四则运算法则

命题2：
1.

2.

3.

证明：以下只证明2. 和3.

注：用数学归纳法推广

例7：

（2）反函数求导

命题3：若

在

上连续且严格单调，又

，则反函数

在点

可导，且

思路：

证明：利用复合函数的极限运算

令

，则

即

注：

1.

在

上连续且严格单调

2. 若

，则

3.

推论：

可导且严格单调，

则

可导且

例8：

反函数

例9：

反函数

例10：

反函数

于是，现在我们可以得到一个更完善的基本初等函数求导公式表.

定理3（基本求导公式）：

例11：

（3）复合函数求导

命题4：

在

点可导且

思路（不严谨）：

最终自变量改变量

中间自变量改变量

复合函数改变量

这个证明的瑕疵在于，如果

是常函数，则

后面一大串都是没有意义的

证明：

在

点可导的，

注意，规定此处

根据芝麻引理，

，其中

则

，

若

时，

，也满足上式

所以

恒成立

注：

1.

，链式法则，

2.

3. 可以用数学归纳法推广到

层复合的求导法则

，

推论：若

的定义域包含

的值域，且两个函数在各自的定义域上可导，则复合函数

在定义域上可导且

.

例12：

，求

与

例13：

例14：

例15：

例16：

例17：

例18：

例19：证明可导奇函数的导数为偶函数

证明：

关于

求导，

即

，为偶函数

（4）对数求导法

1. 幂指型函数

注：前一部分是把

固定当作指数函数求导，后一部分是把

固定当作幂函数求导.

2. 多个函数的积、商、幂

例20：

注：

1. 根号下非负，可以带上绝对值

，

2. 对数的真数大于零，所以对数求导法的结果缩小了导函数的定义域. 事实上，它忽略了使得被求导的函数等于

的点（例如本题中的

和

）. 有时候这些点是不可导的（如本题），而有时是可导的（如下题）. 维基百科说明对数求导法仅适用于恒不为

的可导函数.

事实上我们可以通过化简对数求导的结果来扩充其定义域，但是似乎各大教材和文献都忽略了这一点，也确实让我很困惑. 本文也只好遵循这个“传统”了.

例21：

注：本题中

和

实际上是可导的，在此依据“传统”忽略这一点

（5）分段函数求导

1. 各定义开区间上用求导公式
2. 分界点用（左，右）导数定义

例22：

，求

解：

时，

时，

综上

，

不存在

一、定义

定义4：若

在

可导，则

仍是

上的函数. 若

也在

可导，则称

的导函数

为

的二阶导数，记作

或

或

.

类似地，可以定义

的导函数为

的三阶导数，记作

或

或

.

定义

的导函数为

的

阶导数，记作

或

.

注：一般从四阶导数开始就不再用

的记号，而采用

来表示. 函数的零阶导数理解为函数本身. 求函数的高阶导数，有时可用归纳法，得出一个一般的公式.

例23：

则

，

以此类推

，

推广：

例24：

则

，

以此类推

于是，我们可以得到一个常见函数高阶导数公式表.

定理4（高阶导数公式）：

二、运算法则

（1）线性运算

命题5：

证明：数学归纳法，略

（2）乘法运算

命题6（

公式）：

证明：数学归纳法，设公式对

成立，则

归纳完成

注：

例25：

解：

例26：

，求

解：

一、隐函数求导

定义5：

称为显函数.

例如，

，

定义6：若存在集合

，对任意

，存在唯一的

使得方程

成立，则称方程

确定了一个隐函数.

例如，

可以显化为

注：绝大多数隐函数无法显化.

问：隐函数不显化的情况下如何求

？

例27：

由

确定，求

法一：

综上

法二：等式两边同时关于

求导

例28：

由

确定，求

和

解：

所以

例29：

求

解：

，

即

，两边求

阶导

令

，

又因为

，

二、参数式函数求导

定义7：由参数方程

确定的函数叫参数式函数.

例如，

消参得

显化得

注：绝大多数参数式函数无法消参.

问：参数式函数不消参的情况下如何求

和

？

如果在

上

严格单调，且

则

且

则

确定函数

注：

1.

2.

例30：

由

确定，求

解：

例31：

由

确定，求

处的切线

所以切线为

引例：

正方形边长是

，当边长增加

，面积增加

当

充分小时，

（线性主部），称为微分

一、定义

定义8：如果

在

上有定义，且

能写成

的形式，则称

在

点可微.

称为

在

点的微分，记为

或

，即

.

注：

1.

与

无关，

也叫线性主部

2.

即

充分小时，

3.

，

：可微

连续

例32：求

的微分

解：

即

或

注：以后我们记

例33：求

解：

所以

二、微分和导数的关系

定理5：函数

在

点可微的充分必要条件是函数

在

点可导，且微分中

的系数

.

证明：

必要性：

根据可微的定义

所以

充分性：

根据可导的定义

所以

所以

从而

注：

. 在定义微分前，符号

作为一个整体，而现在有了微分的概念之后，微商可以看作是微分之商.

三、几何意义

由于

因此微分

是曲线

在

处的切线对应的改变量

从几何上看，就是用切线的改变量近似地代替函数的改变量

即：“以直代曲”或“局部线性化”

注：连续和导数都是局部性质.

应用：近似运算

当

充分小时，

特例：当

充分小时，

例34：（1）当

充分小时，

（2）求

的近似值

解：（1）当

充分小时

（2）

四、运算法则

基本初等函数求微分可以借助基本初等函数求导公式

（1）四则运算法则

命题7：
1.

2.

3.

证明：

（2）反函数的微分

（3）复合函数的微分

命题8（一阶微分形式的不变性）：设

，

，则复合函数

的微分

.

证明：

其中

，

故

一阶微分形式的不变性说明，可以在微分等式中代入变量.

例如，

，则

代入

，则

例35：

，求

法一：

法二：

令

，则

五、高阶微分

定义9：函数

的一阶微分是

，可以视为关于

的函数，如果它是可微的，则再求一次微分得，

，称为

的二阶微分，记为

. 把

记作

，即

.

类似地，可以定义

的三阶微分，

.

可以定义

的

阶微分，

.

注：

1.

，这就是

阶导数符号的由来

2.

，

，