题意：

我们发现n!末尾的0都是通过5和2想成得到的，为了把0去掉，我们把所有的因数2和5都提出来，放到最后再处理。

1. N!中的N个相乘的数可以分成两堆：奇数和偶数。偶数相乘可以写成$(2^M)\ast (M!)$，$M=N/2$。M!可以递归处理，因此现在只需讨论奇数相乘。
2. 考虑$1\ast 3\ast 5\ast 7\ast 9\ast 11\ast 13\ast 15\ast 17\ast ...\ast N$(如果N为偶数则是N-1)，这里面是5的倍数的有5，15，25，35,…，可以其中的5提出来,变成$(5^P)\ast (1\ast 3\ast 5\ast 7\ast 9\ast ...)$，后面括号中共P项，$P=(N/5+1)/2$，而后面的括号又可以继续提5出来,递归处理.现在剩下的数是$1\ast 3\ast 7\ast 9\ast 11\ast 13\ast 17\ast 19\ast ....$这些数我们只需要他们的个位数，因为$(1\ast 3\ast 9\ast 11\ast 13\ast ...)mod$ $10=(1\ast 3\ast 7\ast 9\ast 11\ast 13\ast ...)mod$ $10.$我们列出余数表，1 3 1 9 9 7 9 1 1 3 1 9 9 7 9 ……。我们发现每八项$mod$ 10的结果是一个循环.
3. 算出奇数的结果后，我们再回头看统计了多少个2和5需要乘入。把2和5配对完都是N!后面的0,看剩下的2有几个。如果有剩下的2，考虑2^N的个位数又是2 4 8 6 2 4 8 6 ……每四项一个循环，找出这个个位数后，和前面的结果相乘，再取个位数就是答案。由于我们完全把2和5的因素另外处理，所以在所有的乘法中，都只需要计算个位数乘法，并且只保留个位数的结果。
4. 由于是很大的数（前面三个点都可以不看Q—Q）
   我们设F(N)表示N!的尾数。
   先考虑简单的。考虑某一个N!(N < 10)，我们先将所有5的倍数提出来，用1代替原来5的倍数的位置。由于5的倍数全被提走了，所以这样就不会出现尾数0了。我们先把$0-9$的阶乘的尾数列出来（注意，5的倍数的位置上是1），可以得到table[0—9]=(1, 1, 2, 6, 4, 4, 4, 8, 4, 6)。对于N < 5，直接输出table[N]即可；对于N>=5，由于提出了一个5，因此需要一个2与之配成10，即将尾数除以2。注意到除了0!和1!，阶乘的最后一个非零数字必为偶数，所以有一个很特别的除法规律:$2/2=6,4/2=2,6/2=8,8/2=4$。比较特殊的就是$2/2=12/2=6,6/2=16/2=8$.这样我们就可以得到如下式子：$F(N)=\{{}_{2^{N/5}}^{table[N]}(0<=N<10)$

• 再考虑复杂的。考虑某一个N!(N>=10)，我们先将所有5的倍数提出来，用1代替原来5的倍数的位置。由于5的倍数全被提走了，所以这样就不会出现尾数0了。我们观察一下剩下的数的乘积的尾数，通过table表，我们发现这10个数的乘积的尾数是6，6*6的尾数还是6，因此我们将剩下的数每10个分成一组，则剩下的数的乘积的尾数只与最后一组的情况有关，即与N的最后一位数字有关。(因为根据最后一位就能知道它在尾数表中处于第几个位置，只要将尾数表之前的数相乘就得到最后一组的尾数。）由于我们把5的倍数提出来了，N!中一次可以提出[N/5]个5的倍数，有多少个5，就需要有多少个2与之配成10，所以有多少个5，最后就要除以多少个2。注意到除2的结果变化是4个一循环，因此如果有A个5，只需要除(A MOD 4)次2就可以了。A MOD 4只与A的最后两位数有关，很好求算。剩下的5的倍数，由于5已经全部处理掉了，就变成[N/5]!。于是，我们可以得到
  一个递归关系：
  $F(N)=\{{}_{2^{[N/5]mod4}}^{F[N]\ast table[N的尾数]\ast 6}(N>10)$
  这样我们就得到了一个O(log5(N))的算法，整除5可以用高精度加法做，乘2再除10即可。整个算法相当巧妙。