字符串基础

字符串的存储

1. 使用 char 数组存储，用空字符 \0 表示字符串的结尾。（C 风格字符串）
2. 使用 C++ 标准库提供的 string 类。
3. 字符串常量可以用字符串字面值（用双引号括起来的字符串）表示。

标准库

C 标准库是在对字符数组进行操作:char[]/const char*

代码	作用
strlen(const char *str)	返回从 str[0] 开始直到 ‘\0’ 的字符数。注意，未开启 O2 优化时，该操作写在环条件中复杂度是 $O(n)$的。
printf("%s", s)	用 %s 来输出一个字符串（字符数组）。
scanf("%s", &s)	用 %s 来读入一个字符串（字符数组）。
sscanf(const char *__source, const char *__format, …)	从字符串 __source 里读取变量，比如 sscanf(str,"%d",&a)。
sprintf(char *__stream, const char *__format, …)	将 __format 字符串里的内容输出到 __stream 中，比如 sprintf(str,"%d",i)。
strcmp(const char *str1, const char *str2)	按照字典序比较 str1 str2 若 str1 字典序小返回负值，两者一样返回 0，str1 字典序更大则返回正值。请注意，不要简单的认为返回值只有0 ，1，-1 三种，在不同平台下的返回值都遵循正负，但并非都是 0，-1，1。
strcpy(char *str, const char *src)	把 src 中的字符复制到 str 中，str src 均为字符数组头指针，返回值为 str 包含空终止符号 ‘\0’。
strncpy(char *str, const char *src, int cnt)	复制至多 cnt 个字符到 str 中，若 src 终止而数量未达 cnt 则写入空字符到 str 直至写入总共 cnt 个字符。
strcat(char *str1, const char *str2):	将 str2 接到 str1 的结尾，用 *str2 替换 str1 末尾的 ‘\0’ 返回 str1。
strstr(char *str1, const char *str2)	若 str2 是 str1 的子串，则返回 str2 在 str1 的首次出现的地址；如果 str2 不是 str1 的子串，则返回 NULL。
strchr(const char *str, int c)	找到在字符串 str 中第一次出现字符 c 的位置，并返回这个位置的地址。如果未找到该字符则返回 NULL。
strrchr(const char *str, char c)	找到在字符串 str 中最后一次出现字符 c 的位置，并返回这个位置的地址。如果未找到该字符则返回 NULL。

C++ 标准库是在对字符串对象进行操作，同时也提供对字符数组的兼容。 std::string

代码	作用
重载了赋值运算符 +	当 + 两边是 string/char/char[]/const char* 类型时，可以将这两个变量连接，返回连接后的字符串（string）。
赋值运算符 =	右侧可以是 const string/string/const char*/char*。
访问运算符 [cur]	返回 cur 位置的引用。
访问函数 data()/c_str()	返回一个 const char* 指针，内容与该 string 相同。
容量函数 size()	返回字符串字符个数。
find(ch, start = 0)	查找并返回从 start 开始的字符 ch 的位置；rfind(ch) 从末尾开始，查找并返回第一个找到的字符 ch 的位置（皆从 0开始）（如果查找不到，返回 -1）。
substr(start, len)	可以从字符串的 start（从 0开始）截取一个长度为 len 的字符串（缺省 len 时代码截取到字符串末尾）。
append(s)	将 s 添加到字符串末尾。
append(s, pos, n)	将字符串 s 中，从 pos 开始的 n 个字符连接到当前字符串结尾。
replace(pos, n, s)	删除从 pos 开始的 n 个字符，然后在 pos 处插入串 s。
erase(pos, n)	删除从 pos 开始的 n 个字符。
insert(pos, s)	在 pos 位置插入字符串 s。
std::string	重载了比较逻辑运算符，复杂度是 O(n)的。

字符串匹配

单串匹配

一个模式串 (pattern)，一个待匹配串，找出前者在后者中的所有出现位置
举例：Oulipo HDU - 1686（哈希或KMP）匹配字符串

多串匹配

多个模式串，一个待匹配串（多个待匹配串可以直接连起来）。
直接当做单串匹配肯定是可以的，但是效率不够高。
举例：Keywords Search HDU - 2222（AC自动机模板）

其他类型的字符串匹配问题

例如匹配一个串的任意后缀、匹配多个串的任意后缀等。

字符串哈希

Hash 的核心思想在于，将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围。

Warning
这里的“值域较小”在不同情况下意义不同。
在 哈希表 中，值域需要小到能够接受线性的空间与时间复杂度。
在字符串哈希中，值域需要小到能够快速比较（$10^9$、$10^{18}$ 都是可以快速比较的）。
同时，为了降低哈希冲突率，值域也不能太小。

我们定义一个把字符串映射到整数的函数 $f$，这个$f$ 称为是 Hash 函数。
我们希望这个函数 $f$ 可以方便地帮我们判断两个字符串是否相等。
具体来说，哈希函数最重要的性质可以概括为下面两条：

1. 在 Hash 函数值不一样的时候，两个字符串一定不一样；
2. 在 Hash 函数值一样的时候，两个字符串不一定一样（但有大概率一样，且我们当然希望它们总是一样的）。

Hash 函数值一样时原字符串却不一样的现象我们成为哈希碰撞。

我们需要关注的是什么？
时间复杂度和 Hash 的准确率。

通常我们采用的是多项式 Hash 的方法，对于一个长度为 $l$ 的字符串 s来说，我们可以这样定义多项式 Hash 函数：$f(s)={\sum }_{i=1}^{l}s[i]\times b^{l-i}(mod$ $M)$。例如，对于字符串$xyz$ ，其哈希函数值为$x{b}^2+yb+z$ 。
特别要说明的是，也有很多人使用的是另一种 Hash 函数的定义，即$f(s)={\sum }_{i=1}^{l}s[i]\times b^{i-1}(mod$ $M)$ ，这种定义下，同样的字符串 $xyz$的哈希值就变为了 $x+by+z{b}^2$ 了。显然，上面这两种哈希函数的定义函数都是可行的，但二者在之后会讲到的计算子串哈希值时所用的计算式是不同的，因此千万注意 不要弄混了这两种不同的 Hash 方式。由于前者的 Hash 定义计算更简便、使用人数更多、且可以类比为一个 b 进制数来帮助理解，所以本文下面所将要讨论的都是使用 $f(s)={\sum }_{i=1}^{l}s[i]\times b^{l-i}(mod$ $M)$ 来定义的 Hash 函数。

下面讲一下如何选择 M和计算哈希碰撞的概率。

这里 M 需要选择一个素数（至少要比最大的字符要大），b 可以任意选择。如果我们用未知数 x 替代b ，那么$f(x)$ 实际上是多项式环${\mathbb{Z}}_M[x]$ 上的一个多项式。考虑两个不同的字符串 s，t有$f(s)=f(t)$ 。我们记$h(x)=f(s)-f(t)={\sum }_{i=1}^l(s[i]-t[i])x^{l-i}(mod$ $M)$ ，其中$l=max(|s|,|t|)$ 。可以发现 h(x) 是一个 $l-1$ 阶的非零多项式。如果 s与t 在x=b 的情况下哈希碰撞，则 b是h(x) 的一个根。由于 h(x) 在${\mathbb{Z}}_M$ 是一个域（等价于 M 是一个素数，这也是为什么 M 要选择素数的原因）的时候，最多有$l-1$ 个根，如果我们保证 b 是从 [0,M) 之间均匀随机选取的，那么 $f(s)$ 与 $f(t)$ 碰撞的概率可以估计为 $\frac{l-1}{M}$。简单验算一下，可以发现如果两个字符串长度都是 1 的时候，哈希碰撞的概率为 $\frac{1-1}{M}$=0，此时不可能发生碰撞。

Hash 的实现

参考代码：（效率低下的版本，实际使用时一般不会这么写）

using std::string;const int M = 1e9 + 7;
const int B = 233;typedef long long ll;int get_hash(const string& s) {int res = 0;for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {res = (ll)(res * B + s[i]) % M;}return res;
}bool cmp(const string& s, const string& t) {return get_hash(s) == get_hash(t);
}

Hash 的分析与改进

错误率

若进行 n次比较，每次错误率 $\frac{1}{M}$，那么总错误率是$1-(1-\frac{1}{M}{)}^n$。在随机数据下，若$M=10^9+7$ ，$n=10^6$，错误率约为 $\frac{1}{1000}$，并不是能够完全忽略不计的。
所以，进行字符串哈希时，经常会对两个大质数分别取模，这样的话哈希函数的值域就能扩大到两者之积，错误率就非常小了。

多次询问子串哈希

单次计算一个字符串的哈希值复杂度是O(n) ，其中 n为串长，与暴力匹配没有区别，如果需要多次询问一个字符串的子串的哈希值，每次重新计算效率非常低下。
一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的哈希值，将哈希值看成一个b 进制的数对M 取模的结果，这样的话每次就能快速求出子串的哈希了：

令$f_i(s)$ 表示 $f(s[1...i])$，即原串长度为 $i$ 的前缀的哈希值，那么按照定义有 $f_i(s)=s[1]\times b^{i-1}+s[2]\times b^{i-2}+...+s[i-1]\times b+s[i]$

现在，我们想要用类似前缀和的方式快速求出$f(s[l...r])$ ，按照定义有字符串 $s[l...r]$的哈希值为 $f(s[l...r])=s[l]\times b^{r-l}+s[l+1]\times b^{r-l-1}+...+s[r-l]\times b+s[r]$

对比观察上述两个式子，我们发现 $f(s[l...r])=f_r(s)-f_{l-1}(s)\times b^{r-l+1}$ 成立，因此我们用这个式子就可以快速得到子串的哈希值。其中$b^{r-l+1}$ 可以O(n) 的预处理出来然后O(1) 的回答每次询问（当然也可以快速幂 O(log n)的回答每次询问）。

Hash 的应用

字符串匹配

求出模式串的哈希值后，求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值，分别与模式串的哈希值比较即可。

允许 k次失配的字符串匹配

问题：给定长为 n 的源串 ，以及长度为m 的模式串 ，要求查找源串中有多少子串与模式串匹配。$s^{\prime }$ 与s 匹配，当且仅当 $s^{\prime }$与s 长度相同，且最多有 k 个位置字符不同。其中 $1\le n,m\le 10^6$，$0\le k\le 5$。

这道题无法使用 KMP 解决，但是可以通过哈希 + 二分来解决。

枚举所有可能匹配的子串，假设现在枚举的子串为$s^{\prime }$ ，通过哈希 + 二分可以快速找到 $s^{\prime }$ 与p 第一个不同的位置。之后将 $s^{\prime }$ 与 p 在这个失配位置及之前的部分删除掉，继续查找下一个失配位置。这样的过程最多发生 k 次。总的时间复杂度为$O(m+kn$ $lo{g}_2$ $m)$ 。

最长回文子串

二分答案，判断是否可行时枚举回文中心（对称轴），哈希判断两侧是否相等。需要分别预处理正着和倒着的哈希值。时间复杂度$O(n$ $log$ $n)$ 。
这个问题可以使用 manacher 算法 在 $O(n)$ 的时间内解决。

通过哈希同样可以$O(n)$ 解决这个问题，具体方法就是记 $R_i$ 表示以 $i$ 作为结尾的最长回文的长度，那么答案就是$ma{x}_{i=1}^n{R}_i$ 。考虑到 $R_i\le R_{i-1}+2$，因此我们只需要暴力从 $R_{i-1}+2$开始递减，直到找到第一个回文即可。记变量 $z$ 表示当前枚举的 $R_i$，初始时为0 ，则 $z$ 在每次 $i$ 增大的时候都会增大 2，之后每次暴力循环都会减少1 ，故暴力循环最多发生2n 次，总的时间复杂度为 O(n)。

最长公共子字符串

问题：给定 m 个总长不超过n 的非空字符串，查找所有字符串的最长公共子字符串，如果有多个，任意输出其中一个。其中$1\le m,n\le 10^6$ 。

很显然如果存在长度为k 的最长公共子字符串，那么 k-1 的公共子字符串也必定存在。因此我们可以二分最长公共子字符串的长度。假设现在的长度为k ，check(k) 的逻辑为我们将所有所有字符串的长度为k 的子串分别进行哈希，将哈希值放入 n 个哈希表中存储。之后求交集即可。
时间复杂度为$O(n$ $lo{g}_2$ $\frac{n}{m})$ 。

确定字符串中不同子字符串的数量

问题：给定长为n 的字符串，仅由小写英文字母组成，查找该字符串中不同子串的数量。

为了解决这个问题，我们遍历了所有长度为 $l=1,...,n$ 的子串。对于每个长度为 $l$，我们将其 Hash 值乘以相同的 b 的幂次方，并存入一个数组中。数组中不同元素的数量等于字符串中长度不同的子串的数量，并此数字将添加到最终答案中。
为了方便起见，我们将使用 $h[i]$ 作为 Hash 的前缀字符，并定义$h[0]=0$ 。

字典树 (Trie)

字典树，英文名 trie。顾名思义，就是一个像字典一样的树。
先放一张图：

可以发现，这棵字典树用边来代表字母，而从根结点到树上某一结点的路径就代表了一个字符串。举个例子，$1\to 4\to 8\to 12$ 表示的就是字符串 caa。

trie 的结构非常好懂，我们用 $\delta (u,c)$ 表示结点$u$ 的 $c$ 字符指向的下一个结点，或着说是结点 $u$ 代表的字符串后面添加一个字符 $c$ 形成的字符串的结点。（ $c$ 的取值范围和字符集大小有关，不一定是 $0$~26。）

有时需要标记插入进 trie 的是哪些字符串，每次插入完成时在这个字符串所代表的节点处打上标记即可。
Phone List POJ - 3630（字典树模板题）

应用

检索字符串

字典树最基础的应用——查找一个字符串是否在“字典”中出现过。
例题：字典树模板+洛谷P2580 于是他错误的点名开始了

AC 自动机

trie 是 AC 自动机 的一部分。

维护异或极值

将数的二进制表示看做一个字符串，就可以建出字符集为{0,1} 的 trie 树。

前缀函数与 KMP 算法
Boyer-Moore算法
Z 函数（扩展 KMP）
自动机

AC 自动机

Keywords Search HDU - 2222（AC自动机模板）

后缀数组 (SA)
后缀自动机 (SAM)
后缀平衡树
广义后缀自动机
后缀树

Manacher

最长回文 HDU - 3068（求最长回文串的长度【马拉车算法Manacher】）

回文树
序列自动机
最小表示法
Lyndon 分解