替罪羊树详解

刚开始学习平衡树。可是我太弱了弄不懂有旋转操作的treap和splay，这时候学习可以不用旋转操作——替罪羊树的平衡树就很适合。这个名字取得比较玄乎，一眼看上去并不知道有什么卵用，但是， 如果你是刚学平衡树的新手，那么从替罪羊树开始学一定是个绝佳的选择，因为它是个很优雅的平衡树，什么叫优雅？暴力即是优雅！

如果在一棵平衡的二叉搜索树内进行查询等操作，时间就可以稳定在log(n)，但是每一次的插入节点和删除节点，都可能会使得这棵树不平衡，最坏情况就是退化成一条链，显然我们不想要这种树，于是各种维护的方法出现了，大部分的平衡树都是通过旋转来维护平衡的，但替罪羊树就很厉害了，一旦发现不平衡的子树，立马拍扁重建，这就是替罪羊树的核心：暴力重建

先来说说我的替罪羊树上的每个节点包含些什么：

（1） zuo,you：记录该节点的左右儿子

（2）x：该节点的值

（3）tot：有多少个值为x的数

（4） size,trsize,whsize：size表示以该节点为根的子树内有多少个节点，trsize表示有多少个有效节点（这个后面再讲啦），whsize表示有多少个数（也就是子树内所有节点的tot的和）

（5）fa：该点的父亲

（6）tf：该点是否有删除标记（这个也会在后面讲啦）

用处

替罪羊树是一种平衡树，支持插入，删除，查找第k小元素，查找元素的排名等操作

1、关于α

在替罪羊树中，定义了一个平衡因子α，α的范围因题而异，一般取0.5~1.0之间，若题目没有特殊说明，一般就取个中0.75就好了。那这个α有啥用呢？替罪羊树判断一棵子树是否平衡的方法是：如果 x的左（右）子树的节点数量 > 以x为根的子树的节点数量α ，那么，以x为根的这棵子树就是不平衡的。显然的，如果有一棵子树的大小超过了 以x为根的子树的节点数量α，那么这种节点一边倒的情况对于查询来说肯定就很慢，所以，这个时候我们就将它重建。
不知各位有木有想过，α的值究竟与效率有什么关系呢？仔细想想，当α的值越小，那么替罪羊树就越容易重构，那么树也就越平衡，查询的效率也就越高，自然修改（加点和删点）的效率也就低了，所以，如果查询操作比较多的话，就可以将α的值设小一点，反之，假如修改操作多，自然α的值就要大一点了。

还有，α不能等于1 or 0.5，假如它等于0.5，那么当一棵树被重构之后如果因为节点数问题，不能完全重构成一个完全二叉树，那么显然，对于这棵树的根，他的 | 左子树节点数量 - 右子树节点数量 | 很可能会等于1，那么如果往多的那棵子树上加一个节点，那么这棵树又得重构一次，最坏情况时间会变成n^2，显然死定了。。那么等于1会怎么样？还能怎么样！你觉得会有一棵子树的大小大于整棵树的大小吗？！

2、关于时间复杂度

除了重构操作，其他操作的时间复杂度显然都是log(n)的，那么下面看一下重构的时间复杂度。

虽然重构一次的时间复杂度是O(n)的，但是，均摊下来其实只是O(logn)。

考虑极端情况，每次都把整棵树重构。

那么我们就需要每次都往根的一棵子树内加点，假设一开始是平衡的，那么左右子树各有50%的节点，那么要使一棵子树内含有超过75%的节点，那么这棵子树就需要在原来的基础上增加2倍的节点数。也就是说，当最差情况时，整棵替罪羊树的节点数要翻个倍，才会重构。那么最差情况时也就是在4,8,16,32……个节点时才会重构，于是重构的总的时间复杂度也就是O(nlogn)了，加上一些杂七杂八的重构，也不过就是加上一个很小的常数，可以省略不计。所以，替罪羊树的时间复杂度依然是O(nlogn)的。
引用博客：一、结构体指针
二、树状数组
三、带图更清晰