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在不考虑柯西序列的情况下：

.

1.00000000000000000……-0.9999999…….结果为 0.000…，也就是后面的 0 无限循环。这两个数目在这里是无限循环小数，小数点后五位之后还会一直填上 0，始终无法找到最后一位来填上 1。

1.000… - 0.999… = 0.000… = 0，故 1 = 0.999… 。

这假设了 0.999…没有“最后的9”、这些无限循环小数的小数点后的位数为可列的(可以由第一个数位一个位一个位数下去而于有限次数到任一个数位)(这已得出 0.999…没有“最后的9”)、 1.000… - 0.999…的结果存在小数表示式。运算结果将没有“最后的1”，所以1与0.999…没有差值。

位数操作

另外一种证明更加适用于其它循环小数。当一个小数乘以10时，其数字不变，但小数点向右移了一位。因此10 × 0.999…等于9.999…，它比原来的数大9。

考虑从9.999…减去0.999…。我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位，结果都是9 - 9，也就是0。但末尾的零并不能改变一个数，所以相差精确地是9。最后一个步骤用到了代数。设0.999… = c，则10c − c = 9，也就是9c = 9。等式两端除以9，便得证：c = 1。用一系列方程来表示，就是

c=0.999...

10c=9.999...

10c-c=9.999...-0.999...

9c=9

c=1

0.999...=1

以上两个证明中的位数操作的正确性，并不需要盲目相信，也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的。这个关系，可以用几个等价的方法来表示，已经规定了0.999…和1.000…都表示相同的数。

实分析

由于0.999…的问题并不影响数学的正式发展，因此我们可以暂缓进行研究，直到证明了实数分析的标准定理为止。其中一个要求，是要刻划所有能表示成小数的实数的特征，由一个可选择的符号、构成整数部分的有限个数字、一个小数点，以及构成小数部分的一系列数字组成。为了讨论0.999…的目的，我们可以把整数部分概括为b0，并可以忽略负号，这样小数展开式就具有如下的形式：

小数部分与整数部分不一样，整数部分只能有有限个数字，而小数部分则可以有无穷多个数字。这一点是至关重要的。这是一个进位制，所以500中的5是50中的5的十倍，而0.05中的5则是0.5中的5的十分之一。

无穷级数和数列

也许小数展开式最常见的发展，是把它们定义为无穷级数的和。一般地：

对于0.999...来说，我们可以使用等比级数的有力的收敛定理：

如果|r|<1，则

由于0.999...是公比为的等比级数的和，应用以上定理，很快就可以得出证明了：

，

这个证明(实际上是10等于9.999...)早在1770年就在瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的作品《Elements of Algebra》(《代数的要素》)中出现了。

等比级数的和本身，是一个比欧拉还要早的结果。一个典型的18世纪的推导用到了逐项的操作，类似于以上的代数证明。直到1811年，Bonnycastle的教科书《An Introduction to Algebra》(《代数的介绍》)依然使用这种等比级数的方法来证明对0.999...使用的策略是正当的。在19世纪，这种随随便便的求和方法遭到了反对，这样便导致了现今仍然占有支配地位的定义：一个无穷级数的和定义为数列的部分和的极限。该定理的一个对应的证明，明确地把这个数列计算出来了；这可以在任何一本以证明为基础的微积分或数学分析的教科书中找到。

对于数列(x0，x1，x2，...)来说，如果当n增大时，距离|x−xn|变得任意地小，那么这个数列就具有极限x。0.999...=1的表述，可以用极限的概念来阐释和证明：

最后一个步骤——通常由实数的阿基米德原理来证实。这个以极限为基础的对0.999...的看法，有时会用比较引人注意但不太精确的话语来表达。例如，在1846年的美国教科书《大学算术》(《The University Arithmetic》)中有这么一句：“0.999+，到无穷远处等于1，这是因为每加上一个9，都会使它的值更加接近于1”(.999+,continuedto infinity =1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1)；在1895年的美国教科书《Arithmeticfor Schools》(《学校算术》)中也有：“...如果有非常多的9，那么1和0.99999...的差就小得难以想像了”(“...when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and.99999... becomes inconceivably small”)。这种启发式的教学法，常常被学生们误解为0.999...本身就小于1。

区间套和最小上界