四元数左乘右乘_四元数、欧拉角学习笔记个人理解

一、背景知识：点乘、叉乘

复数的点乘：(ai+bj+ck)•(xi+yj+zk)=-(ax+by+cz)

复数的叉乘：(ai+bj+ck)×(xi+yj+zk)=(ax)i×i+(ay)i×j+(az)i×k+(bx)j×i+(by)j×j+(bz)j×k+(cx)k×i+(cy)k×j+(cz)k×k

ijk三轴定义如上图所示。满足右手螺旋定则：

(这个不是太明白，但是用的时候确实是这么计算的)

二、二维复数表示旋转

二维复数可以表示二维平面上的旋转。

如：定义待旋转的复数p=2+i，定义旋转因子q=cos45+isin45

则

如下图所示

旋转因子q左乘被旋转复数p表示p逆时针转45°。

三、为什么三维旋转用四维复数表示而不用三维复数

原贴见：

https://blog.csdn.net/u011760195/article/details/85346704

若用实轴x、ij两个虚轴表示旋转因子q和被旋转复数p，那么p绕某个轴转动时，有： x轴绕j轴转动：x×(a+bi) [j不出现] i轴绕x轴转动：i×(a+bj) [x不出现]

此时会出现一个问题，i×j这一项并不能表示实轴x，因为没有规定。i×i=-1是可以的，但i×j不是实数。因此，由于ijx三轴虽然呈相互垂直关系，但无法用叉乘相互表示，不满足计算的需求。因此引入四维复数(四元数)，在三维复数的基础上再引入一个虚轴k，而将实轴x=0隐去，此时ijk三轴满足叉乘相互表示(右手螺旋定则)。

因此，用四维复数替代三维复数只是因为实轴x无法通过ij叉乘表示，不满足计算需要而已。将四维复数的实部置零，形式上是四维，当实际上用的时候是三维，实部是不需要的。

另一个角度思考：(如被转复数p=2只含有实部时，这个点既可以说是一维轴上的一个点，也可以说是二维平面内的一个点。低维的点、线、面等都既可以存在于它自身的维度上，又可以存在于任意更高的维度内。)二维中，旋转因子q=a+bi可以将原本在实轴上的一维的点转进二维的平面里。乘以几维的复数就是在几维空间中进行旋转，比如乘以四维复数，那么就是在四维空间中进行旋转。但是旋转并不一定会把实轴上的一维的p转到二维平面上去，比如二维平面上有p=2，旋转因子定义为q=3，那么p、q都可以看做虚部为0的二维复数，此时旋转p’=q×p=6，此时的旋转只是在实轴上，并没有把p转进二维平面上。四元数表示的三维空间中的旋转也是这个道理，p是一个纯四元数，实部为0，是实实在在的三维空间中的一个向量，我们对p乘以另一个四元数q时，实际上是在四维空间中进行的一个旋转，只不过如同二维平面上一样，我们可以通过某种方式让p的旋转只保持在三维空间中，而不至于转到四维空间中去。

另外，引自：

https://blog.csdn.net/linyijiong/article/details/79777399

…所以从始至终，四元数定义的都是四维旋转，而不是三维旋转！……说白了，三维旋转就是四维旋转的一个特例，就像二维旋转是三维旋转的一个特例一样。……qpq-1这种左乘单位四元数，右乘其共轭的表达式……这个运算形式是为了限制其运算结果所在的空间。简单的说，当对一个三维向量进行三维旋转后，我们希望得到的是一个三维向量。……那么这个左乘单位四元数，右乘其共轭的运算保证了结果是一个在三维超平面上中的纯四元数。

四、四元数的书写表示

设四元数表示为：[s,v]，其中s为一个实数，是四元数的实部。v是纯虚数，v=xi+yj+zk。则四元数的叉乘计算为：q1×q2=[sa , va]×[sb , vb]=[sa•sb+va•vb , sa•vb+sb•va+va×vb]

定义：

单位四元数：q=[s , v],|q|=1

纯四元数：q=[0 , v],即实部为0，是一个三维空间中的向量

五、四元数表示旋转

原贴见：

https://blog.csdn.net/linyijiong/article/details/79777399

二维空间中，旋转因子q=cosθ+sinθi,由上一部分的四元数书写表示，亦可将二维的旋转因子表示为q=[ cosθ,sinθv],其中v为一维纯虚数，v=i。三维空间中既然要用四维复数表示旋转，那么也可以定义旋转因子为：q=[ cosθ,sinθv],其中v为三维纯虚数，v=ai+bj+cz。(留一个问题：二维平面上q能画出来，三维空间中这个q呢？)

现有被旋转三维复数写成四维的纯四元数形式：p=[0,p]，旋转因子q=[ cosθ,sinθv]，则p’=q×p=[ sinθv•p , cosθ•p+ sinθv×p]

①v和p正交时，绕v旋转45°，则p’=[ 0 , cosθ•p+ sinθv×p]

举例：p=[0,2i] q=[√2/2,√2/2 v]，为了v和p正交，不妨设v=k，

则p’=[0, √2i+√2k×i]=[0, √2i+√2j]，旋转过程如下图，绕k轴旋转45°。

② v和p不正交时，绕v旋转45°，则p’=[ sinθv•p , cosθ•p+ sinθv×p]

举例：p=[0,2i]不变， q=[√2/2,√2/2 v]，为了v和p不正交，不妨设v= √2/2 i+√2/2 k

此时计算p’=q×p=[-1, √2i+j]

可以看到，计算结果p’已经不再是纯四元数了，实际上就是p被q转进了四维空间，而在其纯虚数ijk的三维空间内的投影如上图所示，红色的p并没有绕玫红色的v= √2/2 i+√2/2 k旋转45°，而且|p’|≠2，被拉伸变形了。

此时Hamilton提出了一种修正算法，

这样可以算的p’=[0,i+√2j+k]，如下图所示，

此时旋转后的|p’|=2，没有被拉伸，但是转过了90°(p-v平面和p’-v平面夹角为90，即p-v平面绕着v逆时针转了90°)，角度上变为了两倍，因此进一步修正，令

六、四元数→欧拉角